thumb|Triedro de Frenet-Serret ilustrando os vetores Tangente, Normal e Binormal|308x308pxminiaturadaimagem|341x341px|Nó toral com vetores tangente T (rosa), normal N (marrom) e binormal B (verde).A torção(τ) é uma propriedade de curvas no espaço tridimensional (r). Essa propriedade mede o quanto uma curva se projeta para fora do plano de curvatura por meio de um movimento "torsional" que pode ser no sentido de aproximar-se ou afastar-se do vetor normal. O módulo da torção é dado por onde é o vetor binormal e é o vetor que descreve uma curva parametricamente. Calcular a torção por esse método é extremamente trabalhoso porque envolve achar o vetor binormal dado pelo produto vetorial o que por sua vez envolve achar os vetores normal e tangente incluindo normalizações e algumas derivações.

Fórmulas mais simples podem ser deduzidas para a torção e para a curvatura que envolvem apenas o vetor e suas derivadas, tornando o cálculo destas uma tarefa consideravelmente mais simples. Elas são dadas por:

(torção) e (curvatura)

Demonstração

Seja a parametrização de uma curva e . Então vale:

1.

2.

3. ,

onde , e são os vetores unitários tangente, normal e binormal, respectivamente.

A ideia é calcular as três primeiras derivadas de e relacioná-las à torção e curvatura. Dessa forma:

onde fizemos a decomposição do vetor em módulo e direção

onde utilizamos a igualdade 1.

A derivada segunda de é dada pela derivação da expressão acima de utilizando a regra do produto:

Utilizando a igualdade 2. temos:

Calculemos a derivada de terceira ordem de derivando a expressão anterior para :

onde utilizamos apenas a regra do produto.

Lançando mão das igualdades 2. e 3. (evidenciadas entre colchetes)

Simplificando e colocando , e em evidência:

Nossas três derivações ficaram assim:

Observemos que

Tomando o módulo temos:

lembrando que o vetor binormal é unitário

Isolando obtemos nosso primeiro resultado:

(curvatura)

Agora tomemos o produto escalar de com

O que se reduz a:

Sendo , temos:

Isolando :

(torção)

que é o nosso segundo e principal resultado.

Propriedades da torção A torção mede a variação do vetor binormal em relação ao comprimento da curva(s).

Além de usar a curva r para calcular a torção, pode-se usar o vetor binormal.

Como , .

Isso implica que é ortogonal a T e é ortogonal a B.

Logo, é paralelo a N, ou seja, .

O sinal negativo indica que quando está no sentido -. Então, se P é um ponto sobre a curva movendo-se no sentido positivo, gira em torno de como um parafuso de rosca direita sendo apertado, caso seja negativa, seria como um parafuso de rosca esquerda.

Quanto maior o valor da torção, mais esticada são as curvas. No entanto, se esticada até o infinito, a curva passa a ser uma reta.

Categoria:Curvas algébricas