thumb|Intensidade de um feixe gaussiano em torno do foco em um dado instante de tempo, mostrando dois picos de intensidade para cada frente de onda. thumb|Topo: perfil de intensidade transversal de um feixe gaussiano que propaga para fora da página. Curva azul: amplitude do campo elétrico (ou magnético) vs posição radial em relação ao eixo do feixe. A curva preta é a intensidade correspondente. right|thumb|Perfil de feixe de um apontador laser verde de 5 mW, mostrando o perfil TEM00. Em óptica, um feixe gaussiano ou feixe de Gauss é um feixe de radiação eletromagnética monocromática, cujos perfis transversais de amplitude do campo elétrico e magnético são dados por uma função de Gauss; isto também implica um perfil de intensidade gaussiano. Este modo gaussiano transversal fundamental (ou TEM00) descreve a saída da maioria (mas não todos) dos lasers, como tal um feixe pode ser focado na região mais concentrada. Quando tal feixe é refocado por uma lente, a dependência de fase transversal é alterada; isto resulta em um feixe gaussiano diferente. Os perfis de amplitude dos campos elétricos e magnéticos em torno de qualquer feixe gaussiano circular (para dado comprimento de onda e polarização) são determinados por um único parâmetro, a chamada cintura do feixe w0. Em qualquer posição z relativa à cintura (foco) ao longo de um feixe que tem uma w0 específica, as amplitudes e fases do campo são determinadasSvelto, pp. 153–5. como detalhado abaixo.
Soluções arbitrárias da equação paraxial de Helmholtz podem ser expressas como combinações dos modos de Hermite-Gauss (cujos perfis de amplitude são separados em x e y utilizando coordenadas cartesianas) ou similarmente como combinações dos modos de Laguerre-Gauss (cujos perfis de amplitude são separados em r e θ utilizando coordenadas cilíndricas).Siegman, p. 642.probably first considered by Goubau and Schwering (1961). Em qualquer ponto ao longo do feixe z, estes modos incluem o mesmo fator de Gauss como o modo gaussiano fundamental multiplicando os fatores geométricos adicionais para o modo específico. Entretanto diferentes modos propagam com uma fase diferente de Gouy, razão pela qual o perfil transversal líquido devido a uma superposição de modos evolui em z, enquanto a propagação de qualquer modo de Hermite-Gauss único retém a mesma forma ao longo do feixe.
Embora existem outras possíveis decomposições modais, estas famílias de soluções são as mais úteis para problemas envolvendo feixes compactos, isto é, quando a potência óptica é bem proximamente confinada ao longo de um eixo. Mesmo quando um laser não está operando em um modo gaussiano fundamental, sua potência irá geralmente ser encontrada nos modos de ordem mais baixa usando estas decomposições, pois a extensão espacial dos modos de ordem mais alta irão tender a exceder as fronteiras de um ressonador (cavidade) laser. "Feixe gaussiano" normalmente implica radiação confinada ao modo gaussiano transversal fundamental (TEM00).
Forma matemática O feixe gaussiano é um modo eletromagnético transversal (TEM). A expressão matemática para a amplitude do campo elétrico é uma solução da equação paraxial de Helmholtz. Assumindo polarização na direção x e propagação na direção +z, a notação do campo elétrico em fasor é dada por:
onde: é a distância radial a partir do eixo central do feixe, é a distância axial a partir do foco do feixe (ou "cintura" do feixe), é a unidade imaginária, é o número de onda (em radianos por metro) para um comprimento de onda λ, , a amplitude do campo elétrico (e fase) na origem no tempo 0, é o raio no qual as amplitudes caem a 1/e de seu valor axial, no plano z ao longo do feixe, é o tamanho da cintura, é o raio de curvatura da frente de onda do feixe em z, e é a fase de Gouy em z, um termo de fase adicional além daquele atribuível à velocidade de fase da luz. Há também uma dependência de tempo compreendido multiplicando tais quantidades de fasor; o campo real em um ponto no tempo e no espaço é dado pela parte real desta quantidade complexa.
O campo magnético da onda tem uma forma idêntica mas com uma polarização ortogonal (em y uma vez que a polarização do campo elétrico foi estipulada para estar em x):
onde a constante η é a impedância característica do meio no qual o feixe está se propagando. Para o espaço livre, η = η0 ≈ 377 Ω.
A intensidade em média de tempo (ou irradiância) em uma localização é computada utilizando a qual remove todos fatores de fase (uma vez que foi feita uma média ao longo do tempo, o que resulta também no fator ½):
onde é a intensidade no centro do feixe em sua cintura. Evolução da largura do feixe Em uma posição z ao longo do feixe (medido a partir do foco), o parâmetro tamanho da cintura w é dado porSvelto, pp. 153–5.
onde
é chamado de intervalo de Rayleigh como discutido mais adiante. Evolução do raio de curvatura A curvatura da frente de onda é zero na cintura do feixe e também se aproxima de zero quando z → ±∞. Ela é igual a 1/R onde R(z) é o raio de curvatura como função da posição ao longo do feixe, dado porSvelto, pp. 153–5.
Fase de Gouy A chamada fase de Gouy de um feixe em z é dado por:
Esta mudança de fase ao longo do feixe permanece dentro do intervalo ±π/2 (para um feixe gaussiano fundamental) e não é observável em muitos experimentos. Entretanto ela tem importância teórica e assume uma maior gama em modos gaussianos de ordem superior.
Parâmetros do feixe A dependência geométrica dos campos de um feixe gaussiano são governados pelo comprimento de onda da luz λ (no meio dielétrico, se não espaço livre) e os seguintes parâmetros do feixe, todos os quais estão conectados como detalhado nas seções seguintes.
Cintura do feixe
thumb|350x350px|Largura do feixe gaussiano w(z) como função da distância z ao longo do feixe. w0: cintura do feixe; b: profundidade de foco; zR: intervalo de Rayleigh; : espalhamento angular total A forma de um feixe gaussiano de um dado comprimento de onda λ é governado exclusivamente por um parâmetro, a cintura do feixe w0. Esta é uma medida do tamanho do feixe no ponto de seu foco (z=0 nas equações acima) onde a largura do feixe w(z) (como definido acima) é a menor e da mesma forma onde a intensidade no eixo (r=0) é a maior. A partir deste parâmetro, os outros parâmetros que descrevem a geometria do feixe são determinados. Isto inclui o intervalo de Rayleigh zR e a divergência assintótica do feixe θ, como detalhado abaixo.
Intervalo de Rayleigh e parâmetro confocal O intervalo ou comprimento de Rayleigh zR é determinado dado um tamanho à cintura do feixe gaussiano: . A uma distância da cintura igual ao intervalo de Rayleigh zR, a largura w do feixe é mais larga do que ela é no foco, onde w = w0. Isto também implica que a intensidade deste ponto no eixo (r=0) é metade da intensidade de pico (em z=0). Este ponto ao longo do feixe também é onde a curvatura da frente de onda é a maior (1/R).Svelto, pp. 153–5.
A distância entre os dois pontos z = ±zR é chamado de parâmetro confocal ou profundidade de foco do feixe.
Divergência do feixe Embora a calda de uma função de Gauss nunca realmente atinja zero, o propósito da seguinte discussão, nos deixa chamar a "borda" de um feixe o raio onde r = w(z). Isto é onde a intensidade é reduzida a 1/e2 de seu valor no eixo. Agora, para o parâmetro aumenta linearmente com . Isto significa que longe da cintura, o "borda" do feixe tem formato de cone. O ângulo entre linhas ao longo deste cone (cujo ) e o eixo central do feixe () é chamado de divergência do feixe. Ele é dado por
O espalhamento angular total do feixe distante da cintura é então dado por
Pelo fato da divergência ser inversamente proporcional ao tamanho da cintura, para um dado comprimento de onda λ, um feixe gaussiano que é focado em uma área pequena diverge rapidamente quando se propaga para longe do foco. Em contrapartida, para minimizar a divergência de um feixe laser no campo distante (e aumentar sua intensidade de pico em distâncias maiores) ele deve ter uma seção transversal grande (w0) na cintura (e assim um grande diâmetro onde é lançado, de forma que w(z) nunca seja inferior a w0). Esta relação entre a largura do feixe e divergência é um característica fundamental da difração, e da transformada de Fourier que descreve a difração de Fraunhofer. Um feixe com qualquer perfil de amplitude especificado também obedece esta relação inversa, mas o modo gaussiano fundamental é um caso especial onde o produto do tamanho do feixe no foco e a divergência no campo distante é menor que para qualquer outro caso.
Uma vez que o modelo do feixe gaussiano utiliza a aproximação paraxial, ele falha quando as frentes de onda são inclinadas em mais de aproximadamente 30° do eixo do feixe.Siegman (1986) p. 630. Da expressão acima para divergência isto significa que o modelo do feixe gaussiano é acurado apenas para feixes com cinturas maiores que aproximadamente .
A qualidade do feixe laser é quantificado pelo produto do parâmetro do feixe (BPP). Para um feixe gaussiano, o BPP é o produto da divergência do feixe e o tamanho da cintura . O BPP de um feixe real é obtido pela medição do diâmetro mínimo do feixe e da divergência em campo distante, e calculado seu produto. A razao entre o BPP de um feixe real pelo correspondente de um feixe gaussiano ideal no mesmo comprimento de onda é conhecido como M2 ("M ao quadrado"). O M2 para um feixe gaussiano é um. Todos feixes de laser reais possui valores de M2 maiores que um, embora feixes de qualidade elevada possam ter valores muito próximos a um.
A abertura numérica de um feixe gaussiano é definida como sendo, onde n é o índice de refração do meio através do qual o feixe se propaga. Isto significa que o intervalo de Rayleigh está relacionado à abertuda numérica por
Potência e intensidade
Potência através de uma abertura A potência P passando através de um círculo de raio r no plano transversal na posição z éMelles Griot. Gaussian Beam Optics
onde
é a potência total transmitida pelo feixe.
Para um círculo de raio , a fração de potência transmitida através do círculo é
Similarmente, cerca de 90 porcento da potência do feixe irá fluir através de um círculo de raio , 95 porcento através de um círculo de raio , e 99 porcento através de um círculo de raio .
Intensidade de pico A intensidade de pico em uma distância axial da largura do feixe pode ser calculada como o limite da potência delimitada com um círculo de raio , dividida pela área do círculo quando este encolhe ( tende a zero):
O limite pode ser avaliado utilizando a regra de L'Hôpital:
Parâmetros complexos do feixe O tamanho da cintura e a curvatura de um feixe gaussiano em função de z ao longo do feixe pode ser também codificada em parâmetro complexo do feixe Siegman, pp. 638–40.Garg, pp. 165–168. dado por:
Introduzindo esta complicação conduz a uma simplificação da equação de campo de feixe gaussiano como mostrado abaixo. Pode ser visto que o inverso de q(z) contém a curvatura da frente de onda e intensidade relativa no eixo em suas partes real e imaginária, respectivamente:
O parâmetro complexo do feixe simplifica a análise matemática da propagação do feixe gaussiano, e especialmente na análise de cavidades de ressonância óptica usando matrizes de transferência de raios.
Em seguida, utilizando esta fórmula, a equação anterior para o campo elétrico (ou magnético) é bastante simplificada. Se nós chamarmos u a força de campo relativa de um feixe gaussiano elíptico (com os eixos elípticos nas direções x e y) então ele pode ser separado em x e y de acordo com:
onde , , onde e são os parâmetros complexos do feixe nas direções x e y.
Para o caso comum de um perfil de feixe circular, e , que produzSee Siegman (1986) p. 639. Eq. 29
Equação da onda