Na matemática, o logaritmo de uma matriz é uma outra matriz cuja exponenciação é igual à matriz inicial; é portanto, uma generalização do conceito habitual de logaritmo como simplesmente o inverso da função exponencial. Porém há algumas restrições e propriedades das matrizes para tal contexto: a matriz tem logaritmo se e somente se for invertível e seu logaritmo pode ser uma matriz complexa mesmo que todos os seus elementos são números reais.
Definição
Uma matriz B é o logaritmo de uma matriz dada como A se a exponenciação de B é A:
Cálculo Matriz diagonalizável
Um método para encontrar ln(A) para uma matriz diagonalizável é feito da seguinte maneira: Encontra-se a matriz V de valores próprios de A (cada coluna de V é um autovetor de A) Encontra-se a matriz inversa de V, V−1. Seja
Então, A''' será uma matriz diagonal em que os elementos na diagonal são os autovalores de A. Substitui-se cada elemento de A' por seu logaritmo natural para obter ln(A').
Matriz não diagonalizável
O algoritmo acima não diagonalizável não funciona para matrizes não diagonalizável, tal como:
Neste tipo de matrizes, precisa encontrar a forma canônica de Jordan e, além de calcular os logaritmos da diagonal como ocorre na matriz diagonalizável, é necessário calcular o logaritmo dos elementos da matriz de Jordan. O último é conseguido ao notar que um pode escrever um bloco de Jordan como: , onde K é uma matriz com zero e abaixo da diagonal.
Então, pela fórmula
se obtém
Esta série, em geral, não converge para nenhuma matriz K, como tampouco o faz para um número real com valor absoluto maior que a unidade. Entretanto, esta matriz K, em particular, é uma matriz nilpotente, portanto a série tem um número finito de termos (Km é zero se m é a dimensão de K'').
Utilizando este enfoque, se encontra:
Categoria:Teoria matricial