Na lógica matemática, a lógica algébrica abstrata é o estudo da algebrização dos sistemas dedutivos decorrente de uma abstração da já conhecida álgebra de Lindenbaum-Tarski, e como as álgebras resultantes estão relacionadas com os sistemas lógicos.
História A associação arquetípica deste tipo, fundamental para as origens históricas da lógica algébrica e situado no coração de todas as subsequentes teorias desenvolvidas, é a associação entre as classes da álgebra booleana e o cálculo proposicional clássico. Essa associação foi descoberta por George Boole por volta de 1850, e refinada por outros, especialmente Ernst Schröder por volta de 1890. O trabalho culminou na Álgebra de Lindenbaum-Tarski, pensada por Alfred Tarski e seu aluno Adolf Lindenbaum na década de 1930. Mais tarde, Tarski e seus alunos americanos (que incluía Don Pigozzi) descobriram a álgebra cilíndrica, que algebrificou toda a lógica de primeira ordem clássica, e reviveu a álgebra de relação, cujos modelos incluem todas as teorias dos conjuntos axiomáticos já conhecidas.
A lógica algébrica clássica, que compreende todo o trabalho na lógica algébrica até 1960, estudadas as propriedades de classes específicas de álgebras que costumavam "algebrizar" sistemas lógicos específicos para as investigações lógicas específicas. Geralmente, a álgebra associada com um sistema lógico foi considerado um tipo de reticulado, possivelmente enriquecida com uma ou mais operações unárias diferentes da estrutura de complementação.
Lógica Algébrica Abstrata é uma subárea moderna da lógica algébrica que emergiu na Polônia durante as décadas de 1950 e 1960 com o trabalho de Helena Rasiowa, Roman Sikorski, Jerzy Łoś e Roman Susko (para nomear alguns). Atingiu a maturidade na década de 1980 com as publicações seminais do lógico polonês Janusz Czelakowski, do lógico Holandês Wim Blok e do americano Don Pigozzi. O foco da lógica algébrica abstrata se transferiu do estudo das classes específicas das álgebras associadas com sistemas lógicos específicos(o foco da lógica algébrica clássica) para o estudo de:
Classes das álgebras associadas com as classes dos sistemas lógicos cujos todos os membros satisfazem certas propriedades da lógica abstrata. O processo pelo qual uma classe da álgebra torna-se a "contraparte algébrica" de um dado sistema lógico. A relação entre propriedades metalógicas satisfeitas por uma classe de sistemas lógicos, e as propriedades algébricas correspondentes satisfeitas pelas suas contrapartes algébricas.
A passagem da lógica algébrica clássica para a lógica algébrica abstrata pode ser comparada com a passagem da "moderna" ou álgebra abstrata (i.e., o estudo de grupos, anéis, módulos, corpo, etc.) para a álgebra universal (o estudo das classes das álgebras de tipos similaridades arbitrários (assinaturas algébricas) que satisfazem propriedades abstratas específicas.
As duas principais motivações para o desenvolvimento da lógica algébrica abstrata estão intimamente ligadas a (1) e (3) acima, um passo crítico na transição foi iniciado pelo trabalho de Rasiowa. O objetivo dela era abstrair resultados e métodos conhecidos que valerão no cálculo proposicional clássico e álgebra booleana e alguns outros sistemas lógicos intimamente relacionados, de uma certa maneira que estes resultados e métodos poderiam ser aplicados numa muito mais ampla variedades de lógicas proposicionais.
(3) deve muito ao trabalho conjunto de Blok e Pigozzi explorando as diferentes formas que o bem conhecido teorema da dedução do cálculo proposicional clássico e da lógica de primeira ordem assumem em uma ampla variedades de sistemas lógicos. Eles relacionam essas várias formas do teorema da dedução para as propriedades das contrapartes algébricas destes sistemas lógicos.
A lógica algébrica abstrata se tornou um bem estabelecido subcampo da lógica abstrata, com vários profundos e interessantes resultados. Esses resultados explicam várias propriedades das diferentes classes dos sistemas lógicos anteriormente explicados apenas de caso a caso ou envolto em mistérios. Talvez a mais importante conquista da lógica abstrata tem sido a classificação da lógica proposicional em uma hierarquia, chamada de hierarquia algébrica abstrata ou hierarquia de Leibniz, cujos diferentes níves, a grosso modo, refletem a força dos laços entre a lógica em um nível particular e sua classe associada de álgebras. A posição de uma lógica nesta hierarquia determina a extensão em que esta lógica pode ser estudada usando métodos e técnicas algébricas conhecidas. Uma vez que a lógica é atribuída a um nível desta hierarquia, pode-se recorrer ao poderoso arsenal de resultados, acumulados nos últimos 30 e poucos anos, que rege as álgebras situadas no mesmo nível da hierarquia.
A terminologia acima pode ser enganosa. "Lógica Algébrica Abstrata" é muitas vezes usado para indicar a abordagem da Escola húngara incluindo Hajnal Andréka, István Németi e outros. O que é chamado de "lógica algébrica abstrata" no parágrafo acima deveria ser chamado "lógica abstrata". Algebrização de sistemas de Gentzen por Ramon Jansana, J. Font e outros é uma melhoria significativa sobre a "lógica algébrica".
Exemplos Sistema lógico Contraparte Algébrica lógica proposicional álgebra booleana lógica proposicional intuicionista Álgebra de Heyting lógica modal proposicional álgebra cilíndrica; álgebra polyadica Teoria dos conjuntos lógica combinatória; álgebra de relação
Ver também Álgebra Abstrata Lógica Algébrica Teoria do modelo Abstrato Hierarquia(matemática) teoria dos modelos Variedade(Álgebra Universal) lógica universal
Bibliografia Blok, W., Pigozzi, D, 1989. Algebraizable logics. Memoirs of the AMS, 77(396). Also available for download from Pigozzi's Homepage Czelakowski, J., 2001. Protoalgebraic Logics. Kluwer. ISBN 0-7923-6940-8 Considered "an excellent and very readable introduction to the area of abstract algebraic logic" by Mathematical Reviews Font, J. M., 2003. An Abstract Algebraic Logic view of some multiple-valued logics. In M. Fitting & E. Orlowska (eds.), Beyond two: theory and applications of multiple-valued logic, Springer-Verlag, pp. 25–57. Font, J. M., Jansana, R., 1996. A General Algebraic Semantics for Sentential Logics. Lecture Notes in Logic 7, Springer-Verlag. (2nd edition published by ASL in 2009) Also access at [Project Euclid] --------, and Pigozzi, D., 2003, A survey of abstract algebraic logic, Studia Logica 74: 13-79. Ryszard Wójcicki (1988). Theory of logical calculi: basic theory of consequence operations. Springer. ISBN 978-90-277-2785-5. Andréka, H., Németi, I.: General algebraic logic: A perspective on "what is logic", in D. Gabbay (ed.): What is a logical system?, Clarendon Press, 1994, pp. 485–569. D. Pigozzi (2001). "Abstract algebraic logic". In M. Hazewinkel. Encyclopaedia of Mathematics: Supplement Volume III. Springer. pp. 2–13. ISBN 1-4020-0198-3. online at Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Abstract algebraic logic", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Ligações externas Stanford Encyclopedia of Philosophy:"Propositional Consequence Relations and Algebraic Logic" -- by Ramon Jansana.
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