Em matemática, o endomorfismo adjunto (ou ação adjunta} é um homomorfismo das álgebras de Lie que desempenha um papel fundamental no desenvolvimento da teoria das álgebras de Lie"Uma Introdução às Álgebras de Lie e suas Representações" por Eliana Carla Rodrigues & Jhone Caldeira, publicado pela Universidade Federal de Goiás - .
Dado um elemento de uma álgebra de Lie , define-se a ação adjunta de em como o mapa com
para todo em . Representação adjunta da álgebra O conceito gera a representação adjunta de um grupo de Lie . Na verdade, é precisamente o diferencial de no elemento identidade do grupo.
Seja uma álgebra de Lie sobre um campo de . Então o mapa linear
dado por é uma representação de uma álgebra de Lie e é chamada de representação adjunta da álgebraSan Martin, Luiz A. Barrera. Álgebras de Lie, 2ª edição, Editora da Unicamp, Campinas, 2010. ISBN 978-85-268-0876-8.
Dentro , o colchete de Lie é, por definição, dado pelo comutador de dois operadores:
onde denota a composição de mapas lineares. Se é de dimensão finita, então é isomorfo a , a álgebra de Lie do grupo linear geral sobre o espaço vetorial e se uma base para ele é escolhido, a composição corresponde ao produto de matrizes.
Usando a definição acima do colchete de Lie, a identidade de Jacobi
assume a forma
onde , , e são elementos arbitrários de .
Constantes de estrutura Os elementos explícitos da matriz da representação adjunta são dados pelas constantes de estrutura da álgebraWeinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations, Cambridge University Press, Cambridge, (1995). ISBN 0-521-55001-7. Ou seja, deixe {ei} ser um conjunto de vetores de base para a álgebra, com
Então os elementos da matriz para são dados por
Assim, por exemplo, a representação adjunta de SU(2) é o representante de definição de SO(3)Lie Groups in Physics (2007 G. 't Hooft, M.J.G. Veltman e B.Q.P.J. de Wit)Modern Quantum Mechanics (1994 J. J. Sakurai).
Categoria:Álgebra de Lie Categoria:Matemática