Em teoria dos números, especificamente em teoria dos crivos, o lema fundamental de teoria de crivos é um de vários resultados que sistematizam o processo de aplicar métodos de crivagem a problemas particulares. Halberstam e Richert
asseguram:
Diamond e Halberstam atribuíram a terminologia Lema Fundamental a Jonas Kubilius.
Notação Comum Usaremos a seguinte notação: A é um conjunto de X inteiros positivos, isto é |A|=X, e Ad é o subconjunto de A de inteiros divisíveis por d. w(d) e Rd são funções de A e de d que estimam o número de elementos de A que são divisíveis por d, de acordo com a fórmula
Logo w(d) / d representa uma densidade aproximada de membros divisíveis por d, e Rd representa um erro ou término de resíduo. P é um conjunto de primos, e P(z) é o produto dos elementos deste que são menores ou iguais a z S(A, P, z) é o número de elementos de A que não são divisíveis por qualquer primo em P isto é ≤ z κ é uma constante, chamada densidade discriminadora, que aparece nas hipóteses anteriores . Esta medida de peso é uma média ponderada do número de classes residuais afastadas por cada primo.
Lema fundamental do crivo combinatório Esta formulação é de Tenenbaum. Outras formulações em Halberstam e Richert, en Greaves, e en Friedlander e Iwaniec. Consideremos as seguinte hipóteses : w(d) é uma função multiplicativa. a densidade discriminadora κ satisfaz, para alguma constante C e qualquer par de números reais η e ξ com 2 ≤ η ≤ ξ:
Existe um parâmetro u ≥ 1 isto é, a nossa disposição. Temos uniformente em A, X, z, e u que
Para certas aplicações fixamos u de maneira que obtemos o melhor término de erro possível. No crivo isto representa o número de níveis no princípio de inclusão-exclusão.
Lema fundamental para o crivo de Selberg Esta formulação viene de Halberstam e Richert. outra formulação encontra-se em Diamond e Halberstam.
Considere as hipóteses : w(d) é uma função multiplicativa. a densidade discriminadora κ satisfaz, para alguma constante C e para qualquer par de números reais η e ξ con 2 ≤ η ≤ ξ:
w(p) / p < 1 - c para algum número pequeno fixo c e todo p | Rd | ≤ ω(d) onde ω(d) é o número de distintos divisores primos de d.
O lema fundamental tem ao menos a mesma forma que a do crivo combinatório. Tomando u = ln X / ln z. a conclusão é:
Note que u não é um parâmetro pequeno a nossa disposição, mas é controlada pela variável z, a qual encontra-se a nossa disposição.
Note que o término de erro é mais débil que o término existente no lema fundamental do crivo combinatório. Halberstam e Richert asseguram: "Logo não é certo dizer, como se tem assegurado na literatura (matemática) pelos tempos dos tempos, que o crivo de Selberg é sempre melhor que o de Brun."
Ver também Teoria dos crivos
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