A teoria de Yang–Mills é uma teoria quântica de campos para a ligação nuclear concebida por Chen Ning Yang e Robert Mills em 1953, bem como um termo genérico para a classe de teorias semelhantes. A teoria de Yang–Mills é uma teoria de gauge baseada em um grupo unitário especial , ou mais geralmente qualquer grupo de Lie compacto. Uma teoria de Yang–Mills busca descrever o comportamento de partículas elementares usando esses grupos de Lie não abelianos e está no cerne da unificação da força eletromagnética e da força fraca (ou seja, ), bem como da cromodinâmica quântica, a teoria da força forte (baseada em ). Assim, ela forma a base da compreensão do Modelo Padrão da física de partículas.

História e descrição qualitativa Teoria de gauge em eletrodinâmica Todas as interações fundamentais conhecidas podem ser descritas em termos de teorias de gauge, mas isso levou décadas para ser elaborado. O trabalho pioneiro de Hermann Weyl neste projeto começou em 1915, quando sua colega Emmy Noether provou que toda quantidade física conservada tem uma simetria correspondente, e culminou em 1928, quando ele publicou seu livro aplicando a teoria geométrica da simetria (teoria dos grupos) à mecânica quântica. Weyl nomeou a simetria relevante no teorema de Noether de "simetria de gauge", por analogia à padronização de distâncias em bitolas ferroviárias.

Erwin Schrödinger em 1922, três anos antes de trabalhar em sua equação, conectou o conceito de grupo de Weyl à carga do elétron. Schrödinger mostrou que o grupo produzia um deslocamento de fase em campos eletromagnéticos que correspondia à conservação da carga elétrica. À medida que a teoria da eletrodinâmica quântica se desenvolveu nas décadas de 1930 e 1940, as transformações do grupo desempenharam um papel central. Muitos físicos pensaram que devia haver um análogo para a dinâmica dos núcleons. Chen Ning Yang, em particular, estava interessado nessa possibilidade.

Yang e Mills encontram a teoria de gauge da força nuclear A ideia central de Yang era procurar uma quantidade conservada na física nuclear comparável à carga elétrica e usá-la para desenvolver uma teoria de gauge correspondente comparável à eletrodinâmica. Ele se concentrou na conservação do isospin, um número quântico que distingue um nêutron de um próton, mas não fez progressos em uma teoria. Durante uma pausa de Princeton no verão de 1953, Yang encontrou um colaborador que poderia ajudar: Robert Mills. Como o próprio Mills descreve:"Durante o ano acadêmico de 1953–1954, Yang foi visitante do Laboratório Nacional de Brookhaven ... Eu também estava em Brookhaven ... e fui designado para o mesmo escritório que Yang. Yang, que demonstrou em várias ocasiões sua generosidade com físicos iniciando suas carreiras, me contou sobre sua ideia de generalizar a invariância de gauge e nós a discutimos longamente ... Fui capaz de contribuir algo para as discussões, especialmente no que diz respeito aos procedimentos de quantização, e em pequena medida na elaboração do formalismo; no entanto, as ideias-chave eram de Yang."

No verão de 1953, Yang e Mills estenderam o conceito de teoria de gauge para grupos abelianos, por exemplo, a eletrodinâmica quântica, para grupos não abelianos, selecionando o grupo para fornecer uma explicação para a conservação do isospin em colisões envolvendo interações fortes. A apresentação do trabalho por Yang em Princeton em fevereiro de 1954 foi contestada por Pauli, questionando sobre a massa no campo desenvolvido com a ideia de invariância de gauge. Pauli sabia que isso poderia ser um problema, pois havia trabalhado na aplicação da invariância de gauge, mas optou por não publicá-la, considerando as excitações sem massa da teoria como "'partículas sombra' não físicas". Yang e Mills publicaram em outubro de 1954; perto do final do artigo, eles admitem:

Esse problema de excitação sem massa não física bloqueou o progresso posterior.

A ideia foi deixada de lado até 1960, quando o conceito de partículas adquirindo massa através da quebra de simetria em teorias sem massa foi proposto, inicialmente por Jeffrey Goldstone, Yoichiro Nambu e Giovanni Jona-Lasinio. Isso provocou um reinício significativo dos estudos da teoria de Yang–Mills que se mostrou bem-sucedido na formulação tanto da unificação eletrofraca quanto da cromodinâmica quântica (QCD). A interação eletrofraca é descrita pelo grupo de gauge , enquanto a QCD é uma teoria de Yang–Mills . Os bósons de gauge sem massa do eletrofraco se misturam após a quebra espontânea de simetria para produzir os três bósons massivos da interação fraca (, e ), bem como o campo fóton ainda sem massa. A dinâmica do campo do fóton e suas interações com a matéria são, por sua vez, governadas pela teoria de gauge da eletrodinâmica quântica. O Modelo Padrão combina a interação forte com a interação eletrofraca unificada (unificando as interações fraca e eletromagnética) através do grupo de simetria . Na época atual, a interação forte não está unificada com a interação eletrofraca, mas a partir do acoplamento em execução observado, acredita-se que todos convergem para um único valor em energias muito altas.

A fenomenologia em energias mais baixas na cromodinâmica quântica não é completamente compreendida devido às dificuldades de gerenciar tal teoria com um acoplamento forte. Esta pode ser a razão pela qual o confinamento não foi teoricamente provado, embora seja uma observação experimental consistente. Isso mostra por que o confinamento da QCD em baixa energia é um problema matemático de grande relevância, e por que o problema da existência e gap de massa de Yang–Mills é um Problema do Prêmio Millennium.

Trabalho paralelo em teorias de gauge não abelianas Em 1953, em uma correspondência privada, Wolfgang Pauli formulou uma teoria hexadimensional das equações de campo de Einstein da relatividade geral, estendendo a teoria pentadimensional de Theodor Kaluza, Oskar Klein, Vladimir Fock e outros para um espaço interno de dimensão superior. No entanto, não há evidências de que Pauli tenha desenvolvido o lagrangiano de um campo de gauge ou sua quantização. Como Pauli descobriu que sua teoria "leva a algumas partículas sombra bastante não físicas", ele se absteve de publicar seus resultados formalmente. Embora Pauli não tenha publicado sua teoria hexadimensional, ele fez duas palestras sobre ela em Zurique em novembro de 1953.

Em janeiro de 1954, Ronald Shaw, um estudante de pós-graduação da Universidade de Cambridge, também desenvolveu uma teoria de gauge não abeliana para forças nucleares. No entanto, a teoria precisava de partículas sem massa para manter a invariância de gauge. Como nenhuma partícula sem massa era conhecida na época, Shaw e seu supervisor Abdus Salam escolheram não publicar seu trabalho. Pouco depois de Yang e Mills publicarem seu artigo em outubro de 1954, Salam encorajou Shaw a publicar seu trabalho para marcar sua contribuição. Shaw recusou e, em vez disso, ele forma apenas um capítulo de sua tese de doutorado publicada em 1956.

Visão geral matemática

As teorias de Yang–Mills são exemplos especiais de teorias de gauge com um grupo de simetria não abeliano dado pelo lagrangiano

com os geradores da álgebra de Lie, indexados por , correspondendo às quantidades (a curvatura ou forma de intensidade de campo) satisfazendo

Aqui, os são constantes de estrutura da álgebra de Lie (totalmente antissimétricas se os geradores da álgebra de Lie são normalizados de modo que seja proporcional a ), a derivada covariante é definida como

é a matriz identidade (correspondendo ao tamanho dos geradores), é o potencial vetor, e é a constante de acoplamento. Em quatro dimensões, a constante de acoplamento é um número puro e para um grupo tem-se

A relação

pode ser derivada pelo comutador

O campo tem a propriedade de ser autointeragente e as equações de movimento obtidas são ditas semilineares, pois as não linearidades são tanto com quanto sem derivadas. Isso significa que só se pode gerenciar esta teoria por teoria de perturbação com pequenas não linearidades.

Note que a transição entre componentes de vetor ou tensor "superior" ("contravariante") e "inferior" ("covariante") é trivial para índices a (por exemplo, ), enquanto para μ e ν é não trivial, correspondendo por exemplo à assinatura usual de Lorentz,

A partir do lagrangiano dado, pode-se derivar as equações de movimento dadas por

Colocando estas podem ser reescritas como

Uma identidade de Bianchi é válida

que é equivalente à identidade de Jacobi

pois Defina o tensor dual de intensidade então a identidade de Bianchi pode ser reescrita como

Uma fonte entra nas equações de movimento como

Note que as correntes devem mudar adequadamente sob transformações do grupo de gauge.

Damos aqui alguns comentários sobre as dimensões físicas do acoplamento. Em dimensões, o campo escala como e então o acoplamento deve escalar como Isso implica que a teoria de Yang–Mills não é renormalizável para dimensões maiores que quatro. Além disso, para o acoplamento é adimensional e tanto o campo quanto o quadrado do acoplamento têm as mesmas dimensões do campo e do acoplamento de uma teoria de campo escalar quártica sem massa. Portanto, essas teorias compartilham a invariância de escala no nível clássico.

Quantização Um método de quantizar a teoria de Yang–Mills é por métodos funcionais, ou seja, integrais de caminho. Introduz-se um funcional gerador para funções de pontos como

mas esta integral não tem significado como está, pois o vetor potencial pode ser arbitrariamente escolhido devido à liberdade de gauge. Este problema já era conhecido para a eletrodinâmica quântica, mas aqui se torna mais severo devido às propriedades não abelianas do grupo de gauge. Uma saída foi dada por Ludvig Faddeev e Victor Popov com a introdução de um campo fantasma (veja fantasma de Faddeev–Popov) que tem a propriedade de ser não físico, pois, embora concorde com a estatística de Fermi–Dirac, é um campo escalar complexo, o que viola o teorema spin–estatística. Assim, podemos escrever o funcional gerador como

sendo

para o campo,

para o fixing de gauge e

para o fantasma. Esta é a expressão comumente usada para derivar as regras de Feynman (veja diagrama de Feynman). Aqui temos para o campo fantasma, enquanto fixa a escolha do gauge para a quantização. As regras de Feynman obtidas a partir deste funcional são as seguintes

Diagrama Regra de Feynman no espaço de momentos thumb|propagador do glúonPropagador do glúon thumb|vértice de três glúonsVértice de 3 glúons thumb|vértice de quatro glúonsVértice de 4 glúons thumb|propagador do fantasmaPropagador do fantasma thumb|vértice fantasma–fantasma–glúonVértice fantasma–fantasma–glúon (ccg)

Estas regras para os diagramas de Feynman podem ser obtidas quando o funcional gerador dado acima é reescrito como

com

sendo o funcional gerador da teoria livre. Expandindo em e computando as derivadas funcionais, podemos obter todas as funções de pontos com teoria de perturbação. Usando a fórmula de redução de LSZ, obtemos a partir das funções de pontos as amplitudes de processo correspondentes, seções de choque e taxas de decaimento. A teoria é renormalizável e as correções são finitas em qualquer ordem da teoria de perturbação.

Para a eletrodinâmica quântica, o campo fantasma se desacopla porque o grupo de gauge é abeliano. Isso pode ser visto a partir do acoplamento entre o campo de gauge e o campo fantasma, que é Para o caso abeliano, todas as constantes de estrutura são zero e, portanto, não há acoplamento. No caso não abeliano, o campo fantasma aparece como uma maneira útil de reescrever a teoria quântica de campos sem consequências físicas sobre os observáveis da teoria, como seções de choque ou taxas de decaimento.