Em matemática, um número duplo de Mersenne é um número de Mersenne da forma
onde o exponente é também um número de Mersenne , sendo n um natural.
Números duplos de Mersenne primos Muitas vezes considera-se apenas os números duplos de Mersenne que são primos.
Como um número de Mersenne é primo só se é primoA demonstração está no artigo "Número de Mersenne", então um número duplo de Mersenne é primo apenas se é também um número primo de Mersenne. Os primeiros valores de p para os quais é primo são p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89. Desses, sabe-se que é primo para p = 2, 3, 5, 7. Para p = 13, 17, 19, já se encontraram fatores de forma explícita, ficando assim demonstrado que os números duplos de Mersenne correspondentes são compostos e não primos. Portanto, o candidato mais pequeno para ser um número duplo de Mersenne primo é , ou seja, 22305843009213693951 − 1. Com aproximadamente 6,94 × 1017 algarismos, este número é demasiado grande para qualquer teste de primalidade dos que se conhecem na atualidade, embora se saiba que não tem nenhum fator primo menor que 4 × 1033.Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008.
Aqui fica a lista dos números duplos de Mersenne primos que se conhecem na atualidade:
()
Números de Catalan-Mersenne Seja . A sucessão definida de forma recursiva como: 2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... () é conhecida como "sucessão dos números de Catalan-Mersenne".MathWorld: Catalan-Mersenne Number Diz-seChris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists nas Prime Pages. que ocorreu a Catalan esta sucessão depois de Lucas descobrir em 1876 que era primo.
Embora os cinco primeiros termos da sucessão (até ) sejam primos, não se conhece qualquer método que ajude a elucidar se algum termo mais o é também.
Bibliografia L. E. Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institute of Washington, 1919. Reimpresso por Chelsea Publishing, Nova Iorque, 1971.
Ver também Marin Mersenne
Duplo de Mersenne Duplo de Mersenne