Em matemática, especialmente na Teoria da ordem e na Teoria de conjuntos, um ultrafiltro é um filtro próprio maximal, ou seja, um filtro próprio que não está estritamente contido num outro filtro próprio. Ultrafiltros têm aplicações em topologia, teoria de modelos e outras áreas da matemática.

Definições

Em teoria de conjuntos, seja um conjunto não vazio e o conjunto de partes de . Um ultrafiltro tem as seguintes propriedadesDRAKE (1974), p. 64 e COMFORT NEGREPONTIS (1974), p. 143.:

thumb|Diagrama de Hasse do ultrafiltro principal gerado por {x}

Ou seja, é um filtro. Além disso, é próprio:

Ou, equivalentemente:

Por último, é maximal:

Equivalentemente, em teoria da ordem ultrafiltros são filtros maximais. Ultrafiltros tem particular importância em reticulados e Álgebra de Boole. Dado um reticulado um ultrafiltro é um conjunto não vazio, estritamente contido em , definido porMONK (2004), p. 14. Ver também BURRIS SANKAPPANAVAR (1981), pp. 142−143 e 148.:

Numa álgebra de Boole com máximo e mínimo , às condições anteriores são acrescentadas:

Em álgebras de Boole, ultrafiltro é o conceito dual do ideal maximal.

Ultrafiltros em álgebras de Boole

Em uma álgebra de Boole um filtro e denominado primo se satisfazPOGORZELSKI WOJTYLAK (2008), p. 12.:

Como pela condição 5, para cada temos que , de modo que a condição acima é equivalente a:

Essa propriedade pode ser usada para uma definição alternativa de ultrafiltro, como em KOPPELBERG (1989), p. 32.

Além disso, pode ser demonstrado que em toda álgebra de Boole um filtro é primo se e somente se é um ultrafiltro,MONK (2004), p. 14, e BURRIS SANKAPPANAVAR (1981), pp. 148−149. ou seja, as noções de filtro primo e ultrafiltro são equivalentes em álgebras de Boole e por isso alguns autores definem ultrafiltro não como um filtro maximal, mas como um filtro primo.Por exemplo: LEVY (2002), p. 253.

Teorema do ultrafiltro

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel com axioma da escolha, ZFC pode ser demonstrado o Teorema do ultrafiltro, cujo enunciado habitual é: "Todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro",DRAKE (1974), p. 64. que abreviaremos TU. Ou seja, dada uma álgebra de Boole e um filtro , existe um ultrafiltro tal que . Devido à dualidade das álgebras de Boole TU é equivalente ao Teorema do ideal primo: "todo ideal numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ideal primo".LEVY (2002), p. 256. Em ZF (sem o Axioma da escolha, AE) TU não pode ser demonstrado, se ZF é consistente. Entretanto, TU é estritamente mais fraco que AE em ZF:

HALPERN LEVY (1971).

Em álgebras de Boole, TU é equivalente a "toda álgebra de Boole contém um ultrafiltro".

Bibliografia

. Volume I de MONK BONNET (1989).

Ver também Filtro (teoria dos conjuntos) Ideal (teoria dos anéis) Ideal (teoria dos conjuntos)

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