Na matemática, especialmente na teoria de conjuntos, um conjunto A é Dedekind-infinito ou infinito de Dedekind se A é equipotente a um subconjunto próprio. Um conjunto é Dedekind-finito se ele não é Dedekind-infinito. O nome provém do matemático alemão Richard Dedekind, que definiu "infinito" dessa maneira no seu famoso artigo de 1888 O que são e o que precisam ser os números.Dedekind 1932, §5, 64, p. 356.
Definição e exemplos Dado um conjunto A, dizemos que A é Dedekind-infinito se A é equipotente a B, com B⊆A e B≠A. Pela definição de equipotência, isso significa que existe uma função bijetiva entre A e B.Hrbacek Jech , p. 97.
Como exemplo, consideremos o conjunto do números naturais e a função
Onde é o conjunto dos inteiros positivos: . Portanto, o conjunto dos números naturais é Dedekind-infinito. Para um outro exemplo, considere o intervalo fechado em e a função:
.
Portanto, o intervalo é Dedekind-infinito.
Propriedades básicas As seguintes propriedades podem ser demonstradas em ZF sem o axioma da escolha.
Se A é Dedekind-infinito, então A é infinito.No sentido habitual de infinito: A não tem n elementos para algum número natural n. Se B é Dedekind-finito e A⊆B, então A é Dedekind-finito.Levy , p. 92. Portanto, se A é Dedekind-infinito e A⊆B, então B é Dedekind-infinito. Todo conjunto enumerável é Dedekind-infinito. Um conjunto A é Dedekind-infinito se e somente se A tem um subconjunto enumerável.Ibid. Se é Dedekind-infinito, então é Dedekind-infinito.Considere os {x} com x no subconjunto enumerável de A. Se é infinito, então é Dedekind-infinito.
Dedekind infinito e o axioma da escolha O axioma da escolha implica ZF a recíproca das proposições acima:
Se A é infinito, então A é Dedekind-infinito.Levy , p. 167. Se é Dedekind-infinito, então é Dedekind-infinito.Note que A é infinito.
Mas essas proposições não podem ser demonstradas sem o axioma da escolha, se ZF é consistente.Jech , p. 95.
Bibliografia
Categoria:Teoria dos conjuntos