Na física, a equação de Hamilton–Jacobi, nomeada em homenagem a William Rowan Hamilton e Carl Gustav Jacob Jacobi, é uma formulação alternativa da mecânica clássica, equivalente a outras descrições fundamentais como as leis de Newton, a mecânica lagrangiana e a mecânica hamiltoniana.
A equação de Hamilton–Jacobi destaca-se por ser uma formulação da mecânica clássica na qual o movimento de uma partícula pode ser representado analogamente a uma onda. Nesse sentido, ela concretizou um objetivo histórico da física teórica (que remonta ao menos a Johann Bernoulli no século XVIII) de estabelecer uma equivalência matemática entre a propagação da luz e a trajetória de uma partícula. A equação de onda obedecida pelos sistemas mecânicos é semelhante, embora não idêntica, à equação de Schrödinger, conforme descrito adiante; por essa razão, a equação de Hamilton–Jacobi é considerada a formulação da mecânica clássica conceitualmente mais próxima da mecânica quântica. A interpretação qualitativa dessa correspondência é denominada analogia óptico-mecânica de Hamilton.
Na matemática, a equação de Hamilton–Jacobi é uma condição necessária que descreve a geometria extremal em generalizações de problemas do cálculo das variações. Pode ser compreendida como um caso especial da equação de Hamilton–Jacobi–Bellman da programação dinâmica.
Visão geral A equação de Hamilton–Jacobi é uma equação diferencial parcial de primeira ordem não linear:
para um sistema de partículas caracterizado pelas coordenadas generalizadas . A função é o hamiltoniano clássico, que quantifica a energia do sistema. A solução dessa equação diferencial é a ação , denominada função principal de Hamilton.
A solução relaciona-se com a lagrangiana do sistema por meio de uma integral indefinida na forma empregada no princípio da menor ação: Superfícies geométricas de ação constante no espaço de configurações são perpendiculares às trajetórias mecânicas do sistema, estabelecendo uma dinâmica similar à propagação de frentes de onda. Essa propriedade geométrica intrínseca da equação de Hamilton–Jacobi conecta de maneira direta a mecânica clássica à mecânica ondulatória quântica.
Formulação matemática
Notação Variáveis em negrito, como , representam um conjunto de coordenadas generalizadas:
Um ponto sobre uma variável denota sua derivada temporal (conforme a notação de Newton):
O produto escalar entre duas listas com o mesmo número de coordenadas é uma abreviação para o somatório dos produtos de suas componentes correspondentes:
O funcional de ação (função principal de Hamilton)
Definição Seja a matriz hessiana invertível. A relação: mostra que as equações de Euler-Lagrange formam um sistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. A inversão da matriz permite reescrever esse sistema na forma:
Fixando-se um instante de tempo inicial e um ponto no espaço de configurações, os teoremas clássicos de existência e unicidade asseguram que, para cada velocidade inicial , o problema de valor inicial definido pelas condições e admite uma solução local única . Adicionalmente, existe um intervalo de tempo suficientemente pequeno tal que trajetórias extremais com diferentes velocidades iniciais não se interceptam em . Isso significa que, para qualquer ponto e qualquer instante , existe no máximo uma trajetória extremal que satisfaz e . A substituição dessa curva extremal no funcional de ação define a função principal de Hamilton (FPH):
onde: , , .
Relação com os momentos lineares generalizados Os momentos conjugados são definidos como . Conhecida a função principal de Hamilton , a dependência explícita dos momentos em relação às velocidades desaparece.
De fato, fixados o instante e a posição inicial , para cada tempo e configuração , seja a trajetória extremal associada. Definindo a velocidade no instante final como , tem-se:
Dedução da equação Dado o hamiltoniano de um sistema físico, a equação de Hamilton–Jacobi é a equação diferencial parcial não linear de primeira ordem para a função principal de Hamilton :
Como demonstrado na seção seguinte, a equação de Hamilton–Jacobi também pode ser deduzida dentro da própria mecânica hamiltoniana ao tratar como a função geratriz de uma transformação canônica para o hamiltoniano clássico:
Os momentos conjugados correspondem às derivadas espaciais de primeira ordem da ação :
Sendo uma equação diferencial parcial para , a integral completa contém constantes arbitrárias de integração. Uma delas é puramente aditiva (já que apenas derivadas de figuram na equação), restando constantes essenciais não triviais, denotadas por .
A relação entre e parametriza a órbita do sistema no espaço de fases em termos dessas constantes de movimento. Além disso, as grandezas:
também são constantes de movimento ao longo da evolução física. Esse sistema de equações algébricas pode ser invertido para expressar analiticamente as coordenadas em função do tempo e das constantes e .
Comparação com outras formulações da mecânica A equação de Hamilton–Jacobi constitui uma única equação diferencial parcial de primeira ordem para a função , dependente de coordenadas generalizadas e do tempo . Os momentos generalizados não figuram como variáveis independentes, manifestando-se apenas por meio das derivadas espaciais de .
Em contrapartida, as equações de movimento nas outras formulações estruturam-se como sistemas: Na mecânica lagrangiana, as equações de Euler-Lagrange formam um sistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem para as coordenadas generalizadas. Na mecânica hamiltoniana, as equações de Hamilton formam um sistema acoplado de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem para as coordenadas e seus momentos conjugados .
Por expressar a resolução de um problema variacional global fundamentado no princípio de Hamilton, a equação de Hamilton–Jacobi possui aplicações que extrapolam a dinâmica de partículas, sendo empregada no estudo de sistemas dinâmicos, geometria simplética e caos quântico. Em geometria diferencial, por exemplo, ela determina as geodésicas sobre uma variedade riemanniana. Contudo, como ferramenta de cálculo prático, equações diferenciais parciais não lineares costumam ser analiticamente complexas, exceto nos sistemas físicos que admitem separação de variáveis.
Derivação por meio de uma transformação canônica Qualquer transformação canônica gerada por uma função geratriz de tipo 2, , satisfaz as relações clássicas:
onde as equações canônicas expressas nas novas coordenadas e momentos sob o novo hamiltoniano mantêm sua estrutura:
Para derivar a equação de Hamilton–Jacobi, busca-se deliberadamente uma função geratriz que anule identicamente o novo hamiltoniano (). Sob essa imposição, todas as derivadas parciais de tornam-se nulas, e as equações canônicas transformadas reduzem-se trivialmente a:
indicando que as novas variáveis generalizadas são integrais primeiras do movimento (constantes no tempo). Denotam-se os novos momentos constantes por e as novas coordenadas constantes por .
Identificando a função geratriz com a função principal de Hamilton, acrescida de uma constante arbitrária :
a condição resulta imediatamente na equação de Hamilton–Jacobi:
Uma vez obtida a solução completa , as trajetórias no espaço de configurações são deduzidas diferenciando em relação aos momentos constantes :
Essas equações podem ser invertidas para expressar em função das constantes e do tempo , resolvendo completamente a dinâmica do sistema.
Separação de variáveis Quando a geometria do problema admite separação de variáveis aditiva, a equação de Hamilton–Jacobi fornece diretamente as constantes de movimento. Se o hamiltoniano não depender explicitamente do tempo , a derivada temporal deve ser necessariamente uma constante, denotada por (onde representa a energia mecânica total conservada). Nesse caso, a ação admite a decomposição:
onde a função independente do tempo é denominada ação abreviada ou função característica de Hamilton (frequentemente denotada por ). A equação diferencial parcial reduz-se então à equação de Hamilton–Jacobi independente do tempo:
Para ilustrar a separação nas coordenadas espaciais, suponha que uma coordenada generalizada específica e sua respectiva derivada apareçam isoladas no hamiltoniano através de uma função :
Nessa hipótese, a ação pode ser decomposta aditivamente como:
Substituindo essa forma na equação de Hamilton–Jacobi, conclui-se que a função deve igualar-se a uma constante de separação , desacoplando uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para :
Nos sistemas integráveis em que a ação separa-se completamente em funções univariadas:
a resolução da dinâmica reduz-se à integração direta de equações diferenciais ordinárias.
Para hamiltonianos estacionários e quadráticos nos momentos, a separabilidade aditiva em coordenadas ortogonais ocorre quando a energia potencial satisfaz certas relações geométricas de compatibilidade (as chamadas condições de Stäckel).
Separação em coordenadas esféricas
Em coordenadas esféricas, o hamiltoniano de uma partícula pontual sob a ação de um potencial conservativo é expresso por:
A equação de Hamilton–Jacobi é separável nessas coordenadas se a energia potencial puder ser decomposta na forma equivalente:
Em potenciais centrais com simetria azimutal (), a coordenada azimutal é dita cíclica ou ignorável, o que permite estabelecer a solução na forma:
onde é uma constante de movimento (o momento angular em relação ao eixo polar). Isso desacopla a equação de Hamilton–Jacobi em duas equações diferenciais ordinárias:
onde , e são integrais primeiras do sistema, reduzindo a resolução da trajetória a quadraturas.
Ondas e partículas
Frentes de onda ópticas e trajetórias
A equação de Hamilton–Jacobi estabelece uma dualidade fundamental entre trajetórias corpusculares e frentes de onda. Na óptica geométrica, a luz pode ser analisada como raios ou como superfícies de propagação de fase. Uma frente de onda em um instante é a superfície alcançada pela luz emitida a partir de uma fonte em . Raios luminosos e frentes de onda são entidades duais: a determinação de uma permite deduzir a outra.
Matematicamente, a óptica geométrica fundamenta-se no princípio de Fermat, no qual a ação corresponde ao tempo de trânsito óptico ao longo da trajetória:
onde é o índice de refração do meio e é o elemento de comprimento de arco. As trajetórias dos raios podem ser calculadas pelas equações de Euler–Lagrange, ao passo que as frentes de onda podem ser calculadas diretamente pela equação de Hamilton–Jacobi (sob a forma da equação eiconal).
Essa dualidade aplica-se universalmente a qualquer sistema derivado de princípios variacionais. Uma frente de onda no instante para um sistema que partiu de em é definida pelo conjunto de pontos que satisfazem a hipersuperfície isocrônica de ação constante:
O vetor momento conjugado é sempre ortogonal a essas superfícies de nível:
Uma vez determinado , os vetores tangentes às trajetórias são obtidos invertendo-se a relação lagrangiana , reconstituindo as trajetórias físicas no espaço real.
Relação com a equação de Schrödinger
As hipersuperfícies de nível da função podem ser descritas geometricamente como frentes de onda mecânicas que se propagam no espaço de configurações. Essa correspondência matemática conduziu Erwin Schrödinger à formulação de sua equação de onda mecânico-quântica. Tomando a função de onda no formato polar:
onde é a constante reduzida de Planck e é um termo de amplitude, as variações de intensidade e fase são modeladas admitindo-se que assuma valores complexos.
A equação de Schrödinger para uma partícula sob um potencial escalar é expressa por:
Substituindo o ansatz exponencial de na equação quântica, obtém-se:
Essa expressão é a equação de Schrödinger escrita na forma não linear de Riccati.