200px|right|thumb|Um setor hiperbólico (em azul) em posição padrão.
Um setor hiperbólico é uma região do plano cartesiano delimitada por dois raios que partem da origem até os pontos e e pelo arco da hipérbole equilátera de equação (ou ).
Diz-se que um setor hiperbólico está em posição padrão quando e .
Área e Logaritmo A área de um setor hiperbólico em posição padrão é igual ao logaritmo natural de , ou seja, .
Demonstração A demonstração dessa propriedade utiliza o cálculo integral: A área sob a curva entre e é dada por . Para obter o setor, somamos a área do triângulo retângulo formado pelos pontos , e , que possui área . Em seguida, subtraímos a área do triângulo formado pelos pontos , e , que possui área . Como as áreas dos dois triângulos são idênticas (), elas se anulam, resultando em uma área total para o setor exatamente igual a .
Ângulo Hiperbólico Quando um setor hiperbólico se encontra em posição padrão, ele define um ângulo hiperbólico . A relação entre a área e o ângulo é , de forma análoga ao setor circular, onde a área é . Essa relação é a base para a definição das funções hiperbólicas , e .
Referências
Categoria:Curvas Categoria:Geometria Categoria:Logaritmos