Em matemática, o produto tensorial de dois espaços vetoriais e (sobre o mesmo corpo) é um espaço vetorial, dotado de uma operação de composição bilinear, denotada por , de pares ordenados do produto Cartesiano sobre , de uma maneira que generaliza o produto externo. O produto tensorial de e é o espaço vetorial gerado pelos símbolos , com e , em que as relações de bilinearidade são impostas para o produto , e não são assumidas quaisquer outras relações. O espaço produto tensorial é, assim, o espaço vetorial "mais livre" (ou o mais geral), no sentido de ter o menor número de restrições.
O produto tensorial de espaços vetoriais (de dimensão finita) tem dimensão igual ao produto das dimensões dos dois fatores:
Em particular, isto distingue o produto tensorial da soma direta de espaços vetoriais, cuja dimensão é a soma das dimensões das duas parcelas:
De modo mais geral, o produto tensorial pode ser estendido a outras categorias de objetos matemáticos, além de espaços vetoriais, tais como matrizes, tensores, álgebras, espaços vetoriais topológicos, e módulos. Em cada caso, a operação de produto tensorial é caracterizada por uma propriedade universal semelhante: ela é a operação bilinear mais livre. O conceito geral de um "produto tensorial" é capturado por categorias monoidais, isto é, a classe de todas as coisas que têm um produto tensorial é uma categoria monoidal.
Motivação intuitiva e o produto tensorial concreto A motivação intuitiva para o produto tensorial baseia-se no conceito mais geral de tensor. Em particular, um tensor é um objeto que pode ser considerado como um tipo especial de função multilinear, que recebe um certo número de vetores (sua ordem) e gera um escalar. Tais objetos são úteis em várias áreas de aplicação, tais como a geometria Riemanniana, famosa por seu uso na teoria geral da relatividade de Albert Einstein na física moderna, onde o tensor métrico é um conceito fundamental: em particular, o tensor métrico pega dois vetores, que podem ser pensados aproximadamente como pequenas setas que partem de um ponto específico dentro de um espaço curvo, ou variedade, e retorna um produto escalar local deles em relação àquele ponto particular - uma operação que codifica aproximadamente os comprimentos dos vetores assim como o ângulo entre eles. Como o produto escalar é um escalar, o tensor métrico é visto então como merecedor de seu nome. Existe um tensor métrico em cada ponto da variedade, e a variação no tensor métrico codifica, assim, o modo como os conceitos de distância e de ângulo, e, portanto, as leis da geometria analítica , variam ao longo da variedade.
Pode-se considerar o produto de dois espaços vetoriais, e como o conjunto de todos os tensores que tomam um vetor de e um de e retorna um escalar dentro de seu corpo base comum (e, portanto, só pode ser definido se eles têm um corpo de base). Os dois espaços podem ser o mesmo—no exemplo acima eles são vetores no espaço tangente em um ponto: aproximadamente o espaço plano com o qual um pequeno pedaço da variedade mais se "parece" quando você aumenta o zoom muito, muito perto de um determinado ponto dela, e, assim, o tensor métrico vive no produto tensorial daquele espaço com si mesmo. Mas eles também podem ser diferentes.
Se temos uma base para os espaços vetoriais, e o espaço vetorial tem dimensão finita, pode-se representar os vetores em termos de componentes em relação àquela base de vetores:
em que cada notação representa a soma
Um tensor é, então, uma aplicação que funciona como acima, retornando um escalar e que é linear em seus dois argumentos. Tal tensor pode ser representado usando uma multiplicação de matrizes:
em que o sobrescrito T denota a transposição de matrizes , que leva o vetor em seu vetor dual.
Dados dois vetores, podemos formar um tensor a partir deles de forma bastante natural utilizando-se do produto externo, que é indicado por e é igual a Esse tensor resulta na matriz
e essa matriz corresponde ao tensor pela construção anterior, que é um resquício de como ela corresponde a uma transformação linear (pela multiplicação em apenas um lado). Esses mesmos tensores geram um espaço vetorial por meio de suas somas e de sua multiplicação por escalares como é feito normalmente para matrizes e funções, e a coleção de todos os tensores produzidos deste modo é o produto tensorial dos dois espaços vetoriais. De fato, esse espaço equivale ao espaço das transformações representadas por todas as matrizes possíveis do tamanho acima, como se pode ver ao observar que os simples produtos de tensores (aqui, é a base do outro espaço vetorial, têm um "1" na -ésima posição e um "0" s nas demais posições, o que permite que eles sejam multiplicados por qualquer número e, então, somados para obter uma matriz com entradas arbitrárias.
O propósito das próximas seções é encontrar uma definição que seja equivalente a esta onde é aplicável, mas que não exija uma escolha específica de base e que também possa ser aplicada mais facilmente a situações de dimensão infinita em que os conceitos de base usuais (base de Hamel) podem ser mal-comportados. Não requerer uma base específica é útil do ponto de vista teórico, já que embora todo espaço vetorial tenha uma base, nem todas as bases são necessariamente construtíveis, e além disso o próprio resultado depende da aceitação do axioma da escolha que pode ser rejeitado em alguns sistemas da matemática. Além disso, é útil encontrar uma construção abstrata para análise do ponto de vista da teoria das categorias, a teoria do "grande quadro da matemática" e como todos os objetos matemáticos se relacionam uns com os outros em um sentido muito geral. Um uso muito importante na vida real de uma definição como essa pode ser encontrado em outro campo da física moderna chamado mecânica quântica: o produto tensorial nesta forma nos permite falar da função de onda de um sistema de duas partículas como um vetor de espaço de Hilbert abstrato sem ter que especificar uma base específica de observáveis .
Pequeno passo em direção ao produto tensorial abstrato: o espaço vetorial livre O primeiro passo a ser considerado envolve a introdução de algo que é chamado de "espaço vetorial livre" sobre um determinado conjunto. O impulso por trás dessa ideia consiste basicamente no que foi dito no último ponto: como um tensor pode ser escrito na forma de uma soma dupla
o jeito mais natural de abordar este problema é, de alguma forma, descobrir como se pode "esquecer" sobre a escolha específica das bases e que são usadas aqui. Em matemática, a maneira de "esquecer" os detalhes da representação de alguma coisa é estabelecer uma identificação que diga que duas coisas diferentes que devem ser consideradas representações da mesma coisa são de fato assim, isto é, que, dadas tais coisas diga "sim, elas são a mesma" ou então "não, elas não são a mesma", e então "juntam" todas as representações como se constituíssem a "coisa representada" sem referência a qualquer uma em particular, reunindo-as todas em um único conjunto. Em termos formais, primeiro é construída uma relação de equivalência e, então, toma-se o conjunto quociente definido por essa relação.
Mas antes de ser possível fazer isso, primeiro é preciso desenvolver sobre o que será definida a relação de equivalência. Isso é feito abordar o problema no sentido inverso, de baixo para cima: uma vez que não se tem garantida uma base, pelo menos construtível, quando se começa a partir de espaços vetoriais arbitrários, pode-se tentar começar garantindo que há uma - isto é, considera-se, em primeiro lugar, uma "base" isoladamente, como dada, e então construindo o espaço vetorial a partir dela. Para esse fim, faz-se o seguinte: supõe-se que é algum conjunto, que poderia ser chamado de uma base abstrata. Agora considere todas as expressões formais do tipo
de comprimento arbitrário, mas finito, e nas quais os a_j são escalares e os \beta_j são elementos de B Intuitivamente, isso é uma combinação linear dos vetores da base no sentido usual de expandir um elemento de um espaço vetorial. Isso é chamado de "expressão formal" pois tecnicamente a multiplicação não é permitida já que não há uma operação de multiplicação definida por padrão em um conjunto arbitrário e um corpo de escalares arbitrário. Em vez disso, pretende-se (de modo similar ao que se faz para definir os números imaginários) que isso se refere a algo e então procede-se com a sua manipulação de acordo com as regras que são esperadas de um espaço vetorial, como por exemplo, que a soma de duas sequências de mesmo comprimento é
onde foram usadas as leis associativa, comutativa e distributiva para reorganizar a primeira soma e transformá-la na segunda. Continuando desta forma com os os múltiplos escalares e com as combinações de vetores de comprimentos diferentes é possível construir uma adição de vetores e uma multiplicação por escalar sobre este conjunto de expressões formais, e ele é chamado de espaço vetorial livre sobre B, e denotado por Observe que os elementos de considerados como expressões formais de comprimento um com coeficiente 1 na frente, formam uma base de Hamel para este espaço.
A expresso do produto tensorial é então abstraída considerando-se que se e representam "vetores de base abstratos" de dois conjuntos e por exemplo, que ""e "" então os pares destes vetores no produto cartesiano ou seja, são tomados como sendo os produtos tensoriais (Note que os produtos tensoriais na expressão são, em algum sentido, "atômicos", isto é, as adições e multiplicações por escalares não os dividem em qualquer outra coisa, então eles podem ser substituídos por algo diferente, sem alterar a estrutura matemática.) Com tal identificação, pode-se, assim, definir o produto tensorial de dois espaços vetoriais e como sendo algo (ainda a ser decidido) que é isomorfo a
Usando o espaço vetorial livre para "esquecer" da base A definição acima realmente funcionará para qualquer espaço vetorial em que seja possível especificar uma base, uma vez que ele pode ser reconstruído como o espaço vetorial livre sobre aquela base: o procedimento acima reflete exatamente a forma como os vetores são representados por meio de uma base de Hamel, por construção. Na verdade, não houve qualquer ganho... até que foi feito isso.
Como não está sendo suposto que se tem acesso a uma base para cada espaço vetorial e cujo produto tensorial se pretende construir, utiliza-se a melhor opção disponível que, em certo sentido, é algo que garantidamente pode ser feito, independentemente de quaisquer preocupações ou problemática em encontrar uma base específica: usar a totalidade de e como "base" para construir os tensores—o que corresponde ao que, na verdade, foi feito na última parte do "Seção sobre a motivação intuitiva", em que foi considerada a adição de produtos tensoriais arbitrários de vetores arbitrários dos dois espaços. A única diferença aqui é que, se for usada a construção do espaço vetorial livre para formar o produto óbvio ele terá muitas versões redundantes do que deve ser o mesmo tensor, em outras palavras, voltando ao caso em que havia uma base, se for considerado o exemplo bastante específico em que com a base canônica, que é suficientemente pequeno mas não trivial, pode-se considerar que o tensor formado pelos vetores e isto é,
também poderia ser representado por outras somas, tais como a soma usando tensores básicos como por exemplo
Estas expressões, embora sejam iguais no caso concreto, seriam elementos distintos do espaço vetorial livre a saber
no primeiro caso, e