thumb|Uma aplicação (ou mapa) é uma função, como na associação de qualquer uma das quatro formas coloridas em X à sua respectiva cor em Y
Na matemática, um mapa, mapeamento ou aplicação é uma função em seu sentido geral.As palavras mapa, mapeamento, aplicação, correspondência e operador são frequentemente usadas como sinônimos. . Alguns autores usam o termo função com um significado mais restrito, nomeadamente como uma aplicação que se restringe apenas a números. Esses termos podem ter se originado do processo de fazer um mapa geográfico: mapear a superfície da Terra para uma folha de papel.
O termo aplicação ou mapa pode ser usado para distinguir alguns tipos especiais de funções, como os homomorfismos. Por exemplo, uma transformação linear (ou aplicação linear) é um homomorfismo de espaços vetoriais, enquanto o termo função linear pode ter esse significado ou pode significar um polinômio linear. Na teoria das categorias, um mapa pode referir-se a um morfismo. O termo transformação pode ser usado de forma intercambiável, mas transformação geralmente se refere a uma função de um conjunto para si mesmo. Existem também alguns usos menos comuns na lógica e na teoria dos grafos.
Mapas como funções
Em muitos ramos da matemática, o termo mapa ou aplicação é usado para significar uma função, às vezes com uma propriedade específica de particular importância para aquele ramo. Por exemplo, uma "aplicação" é uma "função contínua" na topologia, uma "transformação linear" na álgebra linear, etc.
Alguns autores, como Serge Lang, usam "função" apenas para se referir a aplicações nas quais o contradomínio é um conjunto de números (ou seja, um subconjunto dos reais R ou dos complexos C), e reservam o termo aplicação ou mapeamento para funções mais gerais.
Aplicações de certos tipos receberam nomes específicos. Estes incluem homomorfismos na álgebra, isometrias na geometria, operadores na análise e representações na teoria dos grupos.
Na teoria dos sistemas dinâmicos, um mapa denota uma função de evolução usada para criar sistemas dinâmicos discretos.
Um mapa parcial é uma função parcial. Terminologias relacionadas, como domínio, contradomínio, injetiva e contínua, podem ser aplicadas igualmente a mapas e funções, com o mesmo significado. Todos esses usos podem ser aplicados a "mapas" como funções gerais ou como funções com propriedades especiais.
Como morfismos
Na teoria das categorias, "mapa" é frequentemente usado como sinônimo de "morfismo" ou "seta", que é uma função que respeita a estrutura e, portanto, pode implicar mais estrutura do que uma simples "função". Por exemplo, um morfismo em uma categoria concreta (isto é, um morfismo que pode ser visto como uma função) carrega consigo a informação de seu domínio (a origem do morfismo) e de seu contradomínio (o destino ). Na definição amplamente utilizada de uma função , é um subconjunto de consistindo de todos os pares para . Neste sentido, a função não captura o conjunto que é usado como o contradomínio; apenas a imagem é determinada pela função.
Ver também Aplicação de função Notação de seta – ex., , também conhecido como mapa Bijeção, injeção e sobrejeção Homeomorfismo Lista de mapas caóticos Seta de mapeamento (↦) – comumente pronunciada como "mapeia em" ou "leva a" Grupo de classes de mapeamento Grupo de permutações Aplicação regular (geometria algébrica)
Referências
Obras citadas
Ligações externas
Categoria:Conceitos básicos em teoria dos conjuntos