thumb|right|Uma solução (cor-de-rosa) do problema de Apolónio. As linhas dadas são as três circunferências pretas O problema de Apolónio é um problema de geometria proposto e resolvido por Apolônio de Pérgamo. Enunciado do problema O enunciado geral do problema de Apolônio é construir um ou mais círculos que são tangentes a outros três objetos do plano, seja um ponto, reta ou circunferência de qualquer tamanho. Esses objetos podem ser arranjados de qualquer forma, desde que um objeto não cruze sobre o outro e, geralmente, devem ser distintas, isto é, não podem coincidir. As soluções para esse problema podem ser chamados de "círculos de Apolônio", apesar do termo também ser utilizado para outros tipos de círculos associados ao grego.
A propriedade da tangente deve ser definida. Em primeira instância, um ponto, uma reta ou uma circunferência é considerada como tangente a si mesmo. Assim, se dada uma circunferência já é tangente a outros dois objetos, essa disposição é considerada como um problema de Apolônio. Dois objetos geométricos distintos apresentam uma interseção se têm um ponto em comum. Por definição, um ponto é tangente a um círculo ou a uma reta se pertence a ele, além disso, dois pontos distintos não podem ser tangentes. Se o ângulo entre retas ou circunferências em uma interseção é zero, eles seção tangentes entre si, e esse ponto é chamado de ponto de tangência. Na prática, duas circunferências distintas são tangentes se intersectam em apenas um ponto, por conseguinte, se há zero, dois ou mais pontos de interseção, as circunferências não são tangentes. O mesmo vale para uma reta e uma circunferência. Duas retas não podem ser tangentes no plano — apesar de que duas retas paralelas podem ser consideradas tangentes no ponto no infinito na geometria inversiva.
O problema também pode ser formulado como o problema de localizar um ou mais pontos tal que as diferenças das distâncias a dados três pontos seja todos iguais.
Dados três circunferências de raios r1, r2, r3 e considere a solução como um círculo de raio rs.Se a solução é externamente tangente a todas três circunferências, as distâncias entre o centro da circunferência da solução e das outras três circunferências valem d1 = r1 + rs, d2 = r2 + rs e d3 = r3 + rs, respectivamente. Assim, as diferenças entre as distâncias são constantes, como d1 - d2 = r1 - r2, elas dependem apenas do raio conhecido, e não do raio rs. A segunda formulação do problema pode ser generalizado para a solução tangente interna ao trocar a diferença correspondente entre as distâncias pela soma das distâncias. A reformulação em termos das distâncias entre os centros é útil para soluções, como as de Adriaan van Roomen e Isaac Newton, e para o posicionamento hiperbólico ou trilateração, que é a tarefa de localizar uma posição a parti das diferenças nas distâncias a três pontos conhecidos. À título de exemplo, sistemas de navegações como LORAN identificam a posição de um receptor a partir das diferenças nos tempos de chegada dos sinais provenientes de três posições fixas, que correspondem às diferenças nas distâncias até esses transmissores.
História Um vasto repertório de métodos geométricos e algébricos foi desenvolvido para solucionar o Problema de Apolônio, considerado o problema geométrico "mais famoso de todos". O enunciado original do problema dado por Apolônio foi perdido, mas houve reconstruções de François Viète e de outros através de evidências registradas por Papo de Alexandria.
As primeiras e poucas soluções foram publicadas em 1596 por Adriaan van Roomen, que identificou que os centros dos círculos que são soluções para o problema seriam os pontos de interseção entre duas hipérboles. O método de van Roomen foi refinado por 1687 por Isaac Newton em Princípios Matemáticos da Filosofia Natural e por John Casey em 1881.
Apesar da solução de van Roomer ser sucedida, ela apresenta um ponto negativo. Uma propriedade apreciada da geometria euclidiana é a habilidade de resolver problemas utilizando apenas construções utilizando régua e compasso. Muitas construções são impossíveis de serem obtidas apenas com essas ferramentas, como a divisão de ângulos entre três partes iguais. Entretanto, algumas dessas construções podem ser formadas a partir de interseções como hipérboles, elipses e parábolas. À título de exemplo, o problema de construir um cubo com o dobro de um dado cubo, não pode ser solucionado a partir de régua e compasso, mas, de acordo com Menêcmo, é possível através da interseção de duas parábolas. Assim, a solução de van Roomen, que utiliza de duas hipérboles, não determina, necessariamente, a propriedade da construção com régua e compasso.
François Viète, amigo de van Roomen que o instigou a trabalhar no problema de Apolônio, desenvolveu um método que pode ser construído com régua e compasso, contrariando a crença de Johannes Müller von Königsberg de que uma resolução desse tipo seria impossível. Em primeiro plano, Viète resolveu casos específicos do problema de Apolônio, sobretudo achando um círculo que passa por todos os três pontos dados, o que apresenta uma única solução se esses três pontos forem distintos. Em seguida, ele trabalhou sobre casos mais gerais. De acordo com um documento de Papo de Alexandria do século IV, essas ideias se assemelham com o livro do Apolônio Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangências"; Latin: De tactionibus, De contactibus). A solução de Viète é considerada como uma possível reconstrução da de Apolônio, apesar de que outras reconstruções foram publicadas de formas independentes por outros três diferentes autores.
Diversas outras resoluções geométricas do problema de Apolônio foram desenvolvidos no século XIX. Algumas soluções notáveis são Jean-Victor Poncelet, de 1811, e Joseph Diez Gergonne, de 1814. Enquanto a prova de Poncelet se baseia em centros homotéticos de círculos e no teorema de potência de um ponto, o método de Gergonne explora a relação entre linhas e seus polos em um círculo. Esse último método utilizou de 400 operações e foi simplificado para 154 passos por Émile Lemoine. Soluções ainda mais simples foram introduzidas posteriormente por Frederick Soddy em 1936 e por David Eppstein em 2001. Os métodos utilizando inversões de círculos foram implementados por Julius Petersen em 1879 e foram utilizados por, por exemplo, Harold Scott MacDonald Coxeter. Outros métodos utilizam da geometria da esfera de Lie, que foi desenvolvido por Sophus Lie.
Soluções algébricas para o problema começaram a surgir no século XVII por René Descartes e pela Isabel do Palatinado, apesar de que suas soluções eram bem complexas. Métodos práticos e algébricos continuaram a ser desenvolvidos pelos séculos XIII e XIX por diversos matemáticos, tal como Leonhard Euler, Nicolaus Fuss, Carl Friedrich Gauss, Lazare Carnot e Augustin-Louis Cauchy.
Soluções
Interseções de hipérboles A solução de Adriaan van Roomen de 1596 é baseada na interseção de duas hipérboles. Vamos construir três círculos denotados por , e . Van Roomen resolveu o problema geral ao resolver um problema mais simples: dados dois círculos, encontrar uma circunferência tangente aos dois círculos dados. Ele notou que o centro da circunferência tangente está em uma parábola cujos focos são os centros das outras circunferências.
Em 1687, Isaac Newton refinou a solução de Van Roomen, de modo que os centros dos círculos de solução foram localizados nas interseções de uma linha com um círculo. Newton resolveu o problema de Apolônio como um problema de trilateração: localizar um ponto Z — que seria o centro do círculo de solução — a partir de três pontos dados A, B e C — o centro dos três círculos —, de tal forma que as distâncias de Z aos três pontos dados tenham valores conhecidos.
Reconstrução de Viète O problema de Apolónio apresenta dez casos especiais, a depender da natureza dos três objetos dados, que podem ser circunferências (C), retas (R) ou pontos (P). Viète resolveu todos os casos utilizando apenas régua e compasso e usando os casos mais simples para resolver os mais complexos.
Viète começou a resolver o caso com três pontos seguindo o método descrito por Euclides em "Os Elementos". Com isso, desenvolveu um lema que trata da potência de um ponto, com o qual resolveu o caso RPP. Seguindo mais uma vez Euclides, resolveu o caso RRR utilizando o teorema de bissetrizes e construiu um lema com o qual pôde resolve o caso RRP.
Para os problemas restantes, Viète analisou que as três circunferências dadas e a circunferência solução podem ter seus tamanhos alterados simultaneamente e sua tangência é preservada. Se o raio do círculo solução for alterado em uma quantidade Δr, o raio dos círculos dados tangentes internamente a ele deve ser alterado da mesma forma em Δr, enquanto o raio dos círculos dados tangentes externamente a ele deve ser alterado em −Δr. Dessa maneira, à medida que a circunferência solução aumenta, os círculos dados tangentes internamente devem aumentar na mesma proporção, enquanto os círculos dados tangentes externamente devem diminuir, mantendo as tangências.
Número de soluções O problema de Apolónio pode ter uma infinidade de soluções. Isto acontece nos seguintes casos e somente nesses: quando dois dos objectos dados são linhas tangentes num ponto T e o terceiro é precisamente o ponto T; quando os três objectos dados são linhas e são tangentes duas a duas, sendo o ponto de tangência o mesmo em todos os casos.
Nos restantes casos, o problema de Apolónio pode ter de 0 a 8 soluções, mas nunca tem exactamente 7 soluções.Uma demonstração de que nunca há exactamente 7 soluções pode ser vista no artigo de Dan Pedoe mencionado na bibliografia.
Aplicações A principal aplicação do problema de Apolônio, como exposto por Isaac Newton, é a trilateração, que busca uma determinada posição a partir da diferença das distâncias a pelo menos três pontos. Por exemplo, a localização de um navio pela diferença do tempo em que os sinais emitidos por esse navio chegam em três pontos diferentes. A solução do problema foi utilizado na Primeira Guerra Mundial para determinar a localização de uma artilharia ao ouvir o disparo de uma arma em três posições, e o princípio da transliteração é usado pelo Sistema de Navegação Decca e pelo sistema LORAN. De maneira similar, a localização de um avião pode ser determinada pela diferença que o sinal de transponder chega em quatro estações diferentes. Essas estratégias para resolver o problema de Apolônio também estão presentes no sistema de navegação por satélite, além de serem aplicadas para determinar a posições de animais que emitem ondas sonoras específicas, como pássaros e baleiras, mas não é possível utilizá-las caso a velocidade do som varie conforme a direção.
O problema de Apolônio também possui outras aplicações. Na preposição 21 do Livro 1 em Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, Isaac Newton utilizou o problema de Apolônio para construir uma órbita em mecânica celeste, utilizando-se do centro de atração e das retas tangentes à órbita correspondentes à velocidade instantânea. O caso especial do problema de Apolônio que apresenta três círculos tangentes é utilizado no método do círculo de Hardy e Littlewood na área da teoria analítica dos números para construir um caminho de integração complexa de Hans Rademacher. Esse caminho é formado a partir de círculos de Ford, uma família infinita de círculos tangentes. Finalmente, o problema também foi aplicado em problemas de empacotamento, que surgem em campos díspares, como códigos de correção de erros usados em DVDs e o projeto de medicamentos capazes de se encaixar e se ligar a enzimas específicas de bactérias que causam doenças.
Ligações externas
Problema de Apolónio
Bibliografia A. Bruen; J. C. Fisher; J. B. Wilker, Apollonius by Inversion, Mathematics Magazine 56, 1983, 97–103 H. S. M. Coxeter, The problem of Apollonius, American Mathematical Monthly 75, 1968, 5–15