O paradoxo do cavalo é um paradoxo que surge de um uso falho da indução matemática para provar a afirmação Todos os cavalos têm a mesma cor. Não há contradição real, pois esses argumentos têm uma falha crucial que os torna incorretos. Este exemplo foi originalmente apresentado por George Pólya em um livro de 1954 em termos diferentes: "Quaisquer números são iguais?" ou "Quaisquer meninas têm olhos da mesma cor", como um exercício de indução matemática. Também foi reformulado como "Todas as vacas têm a mesma cor".
A versão do paradoxo com cavalos foi apresentada em 1961 em um artigo satírico de Joel E. Cohen. Foi declarado como um lema que, em particular, permitiu ao autor "provar" que Alexandre, o Grande não existiu e que ele tinha um número infinito de membros.. Reimpresso em A Random Walk in Science (R. L. Weber, ed.), Crane, Russak & Co., 1973, pp. 34–36
O argumento thumb|O paradoxo do cavalo falha para |class=skin-invert-image
O argumento é uma prova por indução. Primeiro, estabelecemos um caso base para um cavalo (). Em seguida, provamos que se cavalos têm a mesma cor, então cavalos também devem ter a mesma cor.
Caso base: Um cavalo
Se houver apenas um cavalo no "grupo", então claramente todos os cavalos desse grupo têm a mesma cor; para que as cores dos cavalos em um grupo não sejam homogêneas, deve haver pelo menos dois cavalos de cores diferentes, mas como não há dois cavalos no grupo deste caso, esse requisito está necessariamente ausente.
Passo indutivo Suponha que cavalos sejam sempre da mesma cor. Considere um grupo constituído por cavalos.
Primeiro, exclua um cavalo e observe apenas os outros cavalos; todos eles são da mesma cor, já que cavalos sempre são da mesma cor. Da mesma forma, exclua algum outro cavalo (não idêntico ao primeiro removido) e observe apenas os outros cavalos. Pelo mesmo raciocínio, estes também devem ser da mesma cor. Portanto, o primeiro cavalo que foi excluído é da mesma cor que os cavalos não excluídos, que por sua vez são da mesma cor que o outro cavalo excluído. Logo, o primeiro cavalo excluído, os cavalos não excluídos e o último cavalo excluído são todos da mesma cor, e provamos que: Se cavalos tiverem a mesma cor, então cavalos também terão a mesma cor.
Já foi visto no caso base que a regra ("todos os cavalos têm a mesma cor") era válida para . O passo indutivo provado aqui implica que, como a regra é válida para , ela também deve ser válida para , o que, por sua vez, implica que a regra é válida para e assim por diante.
Assim, em qualquer grupo de cavalos, todos os cavalos devem ser da mesma cor.
Explicação
O argumento acima assume implicitamente que o conjunto de cavalos tem tamanho pelo menos 3, de modo que os dois subconjuntos próprios de cavalos aos quais a suposição de indução é aplicada necessariamente compartilhariam um elemento em comum. Isso não é verdade no primeiro passo da indução, ou seja, quando .
alt=Two horses standing in a field, one is brown and the other is black.|thumb|Dois cavalos de cores diferentes, fornecendo um contraexemplo ao teorema geral
Sejam os dois cavalos A e B. Quando o cavalo A é removido, é verdade que os cavalos restantes no conjunto são da mesma cor (apenas o cavalo B permanece). O mesmo ocorre quando o cavalo B é removido. Também é verdade que A tem a mesma cor que os cavalos não excluídos quando B é removido (nesse caso, A é o único cavalo não excluído) e que B tem a mesma cor que os cavalos não excluídos quando A é removido. No entanto, os dois conjuntos de cavalos não excluídos não têm nenhum elemento em comum, portanto, não se pode concluir que eles têm a mesma cor entre si. Consequentemente, a demonstração acima apresenta uma quebra de lógica. A demonstração configura um paradoxo falsídico; ela aparenta demonstrar, por meio de raciocínio válido, algo que é manifestamente falso, mas, na verdade, o raciocínio é falho.
Ver também Paradoxo do enforcamento inesperado Lista de paradoxos Cavalo branco não é cavalo Princípio de explosão
Categoria:Falácias lógicas Categoria:Método indutivo Categoria:Introduções em 1961