No campo matemático da topologia, um espaço hiperconexoSteen & Seebach, p. 29 ou espaço irredutível é um espaço topológico X que não pode ser escrito como a união de dois subconjuntos fechados próprios (disjuntos ou não disjuntos). O nome espaço irredutível é preferido em geometria algébrica.

Para um espaço topológico X, as seguintes condições são equivalentes: Não existem dois conjuntos abertos não vazios disjuntos. X não pode ser escrito como a união de dois subconjuntos fechados próprios. Todo conjunto aberto não vazio é denso em X. Todo conjunto aberto é conexo. O interior de todo subconjunto fechado próprio de X é vazio. Todo subconjunto é denso ou não denso em lugar nenhum em X. Não existem dois pontos que possam ser separados por vizinhanças disjuntas.

Um espaço que satisfaz qualquer uma dessas condições é chamado de hiperconexo ou irredutível. Devido à condição sobre vizinhanças de pontos distintos ser, em certo sentido, o oposto da propriedade de Hausdorff, alguns autores chamam tais espaços de anti-Hausdorff.

O conjunto vazio é vacuamente um espaço hiperconexo ou irredutível sob a definição acima (porque não contém conjuntos abertos não vazios). No entanto, alguns autores, especialmente aqueles interessados em aplicações à geometria algébrica, acrescentam uma condição explícita de que um espaço irredutível deve ser não vazio.

Um conjunto irredutível é um subconjunto de um espaço topológico para o qual a topologia de subespaço é irredutível.

Exemplos Dois exemplos de espaços hiperconexos da topologia geral são a topologia cofinita em qualquer conjunto infinito e a topologia de ordem à direita em .

Em geometria algébrica, tomar o espectro de um anel cujo anel reduzido é um domínio de integridade é um espaço topológico irredutível — aplicando o teorema do reticulado ao radical nilpotente, que está dentro de todo primo, para mostrar que o espectro do mapa quociente é um homeomorfismo, isso se reduz à irredutibilidade do espectro de um domínio de integridade. Por exemplo, os esquemas , são irredutíveis, uma vez que em ambos os casos os polinômios que definem o ideal são polinômios irredutíveis (ou seja, não têm fatoração não trivial). Um não exemplo é dado pelo divisor de cruzamento normaluma vez que o espaço subjacente é a união dos planos afins , e . Outro não exemplo é dado pelo esquemaonde é um polinômio homogêneo irredutível de grau 4. Esta é a união das duas curvas de gênero 3 (pela fórmula gênero-grau)

Hiperconexidade vs. conexidade Todo espaço hiperconexo é tanto conexo quanto localmente conexo (embora não necessariamente conexo por caminhos ou localmente conexo por caminhos).

Observe que na definição de hiperconexidade, os conjuntos fechados não precisam ser disjuntos. Isso contrasta com a definição de conexidade, na qual os conjuntos abertos são disjuntos.

Por exemplo, o espaço dos números reais com a topologia padrão é conexo, mas não hiperconexo. Isso porque não pode ser escrito como a união de dois conjuntos abertos disjuntos, mas pode ser escrito como a união de dois conjuntos fechados (não disjuntos).

Propriedades Os subconjuntos abertos não vazios de um espaço hiperconexo são "grandes", no sentido de que cada um é denso em X e quaisquer dois deles se intersectam. Assim, um espaço hiperconexo não pode ser de Hausdorff se contiver mais de um ponto. Todo espaço hiperconexo é tanto conexo quanto localmente conexo (embora não necessariamente conexo por caminhos ou localmente conexo por caminhos). Como o fecho de todo conjunto aberto não vazio em um espaço hiperconexo é o espaço inteiro, que é um conjunto aberto, todo espaço hiperconexo é extremamente desconexo. A imagem de um espaço hiperconexo sob uma função contínua é hiperconexa. Em particular, qualquer função contínua de um espaço hiperconexo para um espaço de Hausdorff deve ser constante. Segue-se que todo espaço hiperconexo é pseudocompacto. Todo subespaço aberto de um espaço hiperconexo é hiperconexo. Prova: Seja um subconjunto aberto. Quaisquer dois subconjuntos abertos disjuntos de seriam eles próprios subconjuntos abertos disjuntos de . Portanto, pelo menos um deles deve ser vazio. Mais geralmente, todo subconjunto denso de um espaço hiperconexo é hiperconexo. Prova: Suponha que seja um subconjunto denso de e com , fechados em . Então . Como é hiperconexo, um dos dois fechos é o espaço inteiro , digamos . Isso implica que é denso em e, como é fechado em , deve ser igual a . Um subespaço fechado de um espaço hiperconexo não precisa ser hiperconexo. Contraexemplo: com um corpo algebricamente fechado (portanto infinito) é hiperconexo na topologia de Zariski, enquanto é fechado e não hiperconexo. O fecho de qualquer conjunto irredutível é irredutível. Prova: Suponha que onde é irredutível e escreva para dois subconjuntos fechados (e, portanto, em ). são fechados em e , o que implica ou , mas então ou por definição de fecho. Um espaço que pode ser escrito como com abertos e irredutíveis tais que é irredutível. Prova: Primeiramente, notamos que se é um conjunto aberto não vazio em , então ele intersecta tanto quanto ; de fato, suponha , então é denso em , assim e é um ponto de fecho de , o que implica e, com maior razão, . Agora e tomando o fecho portanto é um subconjunto aberto não vazio e denso de . Como isso é verdade para todo subconjunto aberto não vazio, é irredutível.

Componentes irredutíveis

Uma componente irredutível em um espaço topológico é um subconjunto irredutível maximal (isto é, um conjunto irredutível que não está contido em nenhum conjunto irredutível maior). As componentes irredutíveis são sempre fechadas.

Todo subconjunto irredutível de um espaço X está contido em uma componente irredutível (não necessariamente única) de X. Em particular, todo ponto de X está contido em alguma componente irredutível de X. Ao contrário das componentes conexas de um espaço, as componentes irredutíveis não precisam ser disjuntas (isto é, não precisam formar uma partição). Em geral, as componentes irredutíveis se sobrepõem.

As componentes irredutíveis de um espaço de Hausdorff são apenas os conjuntos unitários.

Como todo espaço irredutível é conexo, as componentes irredutíveis sempre estarão contidas nas componentes conexas.

Todo espaço topológico noetheriano tem um número finito de componentes irredutíveis.

Ver também Espaço ultraconexo Espaço topológico Noetheriano Espaço sóbrio Geometricamente irredutível

Referências

Bibliografia

Categoria:Propriedades de espaços topológicos Categoria:Topologia (matemática)