thumb|340px|direita|Retrato de fase do oscilador de Van der Pol, um sistema unidimensional. O espaço de fases foi o objeto original de estudo na geometria simplética. A geometria simplética é um ramo da geometria diferencial e da topologia diferencial que estuda variedades simpléticas; isto é, variedades diferenciáveis equipadas com uma 2-forma fechada e não degenerada. A geometria simplética tem suas origens na formulação hamiltoniana da mecânica clássica, na qual o espaço de fases de certos sistemas clássicos assume a estrutura de uma variedade simplética.

Etimologia O termo "simplético", introduzido na matemática por Hermann Weyl,Weyl, Hermann (1939). The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Reimpressão pela Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7. MR0000255 é um decalque neogrego de "complexo". Anteriormente, o "grupo simplético" era denominado "grupo dos complexos de retas". "Complexo" deriva do latim com-plexus, que significa "trançado junto" ou "entrelaçado" (co- + plexus), enquanto "simplético" representa o termo grego correspondente (sym-plektikós, "entrelaçante", "trançado junto" ou "copulativo"). Em ambos os casos, os radicais derivam da raiz protoindo-europeia *pleḱ-, que expressa a ideia de dobrar ou tecer, e os prefixos sugerem "união" ou "conjunto". O nome reflete as profundas conexões existentes entre estruturas complexas e simpléticas.

Pelo teorema de Darboux, variedades simpléticas são localmente isomórficas ao espaço vetorial simplético padrão. Por conseguinte, elas não possuem invariantes locais, admitindo apenas invariantes globais (topológicos). O termo "topologia simplética" é frequentemente utilizado de forma intercambiável com "geometria simplética".

Visão geral

Uma geometria simplética é definida sobre um espaço suave de dimensão par que constitui uma variedade diferenciável. Nesse espaço, define-se um objeto geométrico, a 2-forma simplética, que permite a medição do tamanho de objetos bidimensionais no espaço. A forma simplética na geometria simplética desempenha um papel análogo ao do tensor métrico na geometria riemanniana. Enquanto o tensor métrico mede comprimentos e ângulos, a forma simplética mede áreas orientadas.

A geometria simplética surgiu a partir do estudo da mecânica clássica, e um exemplo de estrutura simplética é o movimento de um objeto em uma dimensão. Para especificar a trajetória do objeto, necessita-se tanto da posição quanto do momento , os quais formam um ponto no espaço euclidiano bidimensional . Nesse caso, a forma diferencial simplética é:

e constitui uma forma de área que mede a área de uma região no plano por meio de integração:

Essa área é relevante porque, à medida que sistemas dinâmicos conservativos evoluem no tempo, essa área permanece invariante.

Geometrias simpléticas de dimensões superiores são definidas de maneira análoga. Uma geometria simplética -dimensional é formada por pares de direções

em uma variedade de dimensão , acompanhada por uma forma simplética:

Essa forma simplética fornece o tamanho de uma região -dimensional no espaço como a soma das áreas das projeções de sobre cada um dos planos formados pelos pares de direções:

Comparação com a geometria riemanniana A geometria riemanniana é o estudo de variedades diferenciáveis equipadas com 2-tensores simétricos e não degenerados (denominados tensores métricos). A geometria simplética possui uma série de semelhanças e diferenças em relação à geometria riemanniana.

Diferentemente do caso riemanniano, as variedades simpléticas não possuem invariantes locais, tais como a curvatura. Isso é consequência do teorema de Darboux, o qual estabelece que uma vizinhança de qualquer ponto de uma variedade simplética de dimensão é isomórfica à estrutura simplética padrão em um conjunto aberto de .

Outra distinção em relação à geometria riemanniana é que nem toda variedade diferenciável admite uma forma simplética, existindo certas restrições topológicas. Por exemplo, toda variedade simplética possui necessariamente dimensão par e é orientável. Adicionalmente, se for uma variedade simplética fechada (compacta e sem bordo), então o segundo grupo de cohomologia de de Rham é não trivial (mais do que isso: todo grupo de cohomologia de dimensão par até a dimensão da variedade é não trivial); isso implica, por exemplo, que a única -esfera que admite uma forma simplética é a 2-esfera.

Um paralelo que se pode traçar entre os dois campos é a analogia entre as geodésicas na geometria riemanniana e as curvas pseudo-holomorfas na geometria simplética. As geodésicas são curvas de comprimento mínimo (localmente), enquanto as curvas pseudo-holomorfas são superfícies de área mínima. Ambos os conceitos desempenham papel fundamental em suas respectivas disciplinas.

Exemplos e estruturas Toda variedade de Kähler é também uma variedade simplética. Até a década de 1970, os especialistas em geometria simplética não tinham certeza sobre a existência de variedades simpléticas compactas que não fossem de Kähler, mas desde então inúmeros exemplos foram construídos (o primeiro deles devido a William Thurston); em particular, Robert Gompf demonstrou que todo grupo finitamente apresentado ocorre como o grupo fundamental de alguma 4-variedade simplética, em forte contraste com o caso Kähler.

Pode-se afirmar que a maioria das variedades simpléticas não é de Kähler e, portanto, não possui uma estrutura complexa integrável compatível com a forma simplética. Mikhail Gromov, contudo, fez a observação fundamental de que variedades simpléticas admitem uma abundância de estruturas quase-complexas compatíveis, satisfazendo todos os axiomas de uma variedade de Kähler, exceto a exigência de que as funções de transição sejam holomorfas.

Gromov utilizou a existência de estruturas quase-complexas sobre variedades simpléticas para desenvolver a teoria das curvas pseudo-holomorfas, o que propiciou uma série de avanços na topologia simplética, incluindo uma classe de invariantes simpléticos atualmente conhecidos como invariantes de Gromov–Witten. Posteriormente, utilizando a técnica das curvas pseudo-holomorfas, Andreas Floer introduziu outra ferramenta de importância central na geometria simplética, conhecida como a homologia de Floer.

Ver também

Geometria de contato Mecânica geométrica Aplicação de momento Geometria de Poisson Dualidade simplética Integrador simplético Resolução simplética Espaço vetorial simplético

Referências

Bibliografia

(versão em inglês: Russian Mathematical Surveys, 1986, 41:6, 1–21).

Ligações externas Estrutura simplética na Encyclopedia of Mathematics

Categoria:Topologia (matemática)