direita|miniaturadaimagem|392x392px|Um catálogo de curvas elípticas. A região mostrada é .

(Para a função não é suave e, portanto, não é uma curva elíptica.) Na matemática, uma curva elíptica é uma curva algébrica projetiva e suave de gênero um, sobre a qual existe um ponto específico . Uma curva elíptica é definida sobre um corpo e descreve pontos em , o produto cartesiano de consigo mesmo. Se a característica do corpo for diferente de e , então a curva pode ser descrita como uma curva algébrica plana que consiste em soluções para:

para alguns coeficientes e em . Exige-se que a curva seja não singular, o que significa que a curva não possui cúspides ou autointerseções. (Isto é equivalente à condição , ou seja, ser um polinômio livre de quadrados em .) Geralmente, entende-se que a curva está mergulhada no plano projetivo, com o ponto sendo o único ponto no infinito. Muitas fontes definem uma curva elíptica simplesmente como uma curva dada por uma equação desta forma. (Quando o corpo de coeficientes tem característica ou , a equação acima não é geral o suficiente para incluir todas as curvas cúbicas não singulares; veja a seção Curvas elípticas sobre um corpo geral abaixo.)

Uma curva elíptica é uma variedade abeliana — isto é, ela possui uma lei de grupo definida algebricamente, em relação à qual é um grupo abeliano — e serve como o elemento neutro.

Se , onde é qualquer polinômio de grau três em sem raízes repetidas, o conjunto de soluções é uma curva plana não singular de gênero um, ou seja, uma curva elíptica. Se tem grau quatro e é livre de quadrados, esta equação descreve novamente uma curva plana de gênero um; no entanto, não possui uma escolha natural de elemento neutro. De forma mais geral, qualquer curva algébrica de gênero um, por exemplo a interseção de duas superfícies quádricas mergulhadas num espaço projetivo tridimensional, é chamada de curva elíptica, desde que seja equipada com um ponto marcado para atuar como a identidade.

Usando a teoria das funções elípticas, pode-se mostrar que as curvas elípticas definidas sobre os números complexos correspondem a mergulhos do toro no plano projetivo complexo. O toro também é um grupo abeliano, e esta correspondência é igualmente um isomorfismo de grupos.

As curvas elípticas são especialmente importantes na teoria dos números e constituem uma grande área de pesquisa atual; por exemplo, elas foram usadas na demonstração do Último Teorema de Fermat por Andrew Wiles. Elas também encontram aplicações na criptografia de curva elíptica (ECC) e na fatoração de inteiros.

Uma curva elíptica não é uma elipse no sentido de uma cônica projetiva, que tem gênero zero: veja integral elíptica para a origem do termo. No entanto, existe uma representação natural de curvas elípticas reais com invariante de forma como elipses no plano hiperbólico . Especificamente, as interseções do hiperboloide de Minkowski com superfícies quádricas caracterizadas por uma certa propriedade de ângulo constante produzem as elipses de Steiner em (geradas por colineações que preservam a orientação). Além disso, as trajetórias ortogonais dessas elipses compreendem as curvas elípticas com , e qualquer elipse em descrita como um lugar geométrico em relação a dois focos é de forma única a soma na curva elíptica de duas elipses de Steiner, obtida adicionando os pares de interseções em cada trajetória ortogonal. Aqui, o vértice do hiperboloide serve como a identidade em cada curva de trajetória.

Topologicamente, uma curva elíptica complexa é um toro, enquanto uma elipse complexa é uma esfera.

Curvas elípticas sobre os números reais direita|commoldura|Gráficos das curvas e Embora a definição formal de uma curva elíptica exija algum conhecimento em geometria algébrica, é possível descrever algumas características das curvas elípticas sobre os números reais usando apenas álgebra e geometria introdutórias.

Neste contexto, uma curva elíptica é uma curva plana definida por uma equação da forma

após uma mudança linear de variáveis ( e são números reais). Este tipo de equação é chamado de forma normal de Weierstrass, forma de Weierstrass ou equação de Weierstrass.

A definição de curva elíptica também exige que a curva seja não singular. Geometricamente, isso significa que o gráfico não possui cúspides, autointerseções ou pontos isolados. Algebricamente, isso é válido se e somente se o discriminante, , não for igual a zero, onde é definido como:

O discriminante é zero quando para algum real. Embora o fator seja irrelevante para determinar se a curva é ou não singular, esta definição do discriminante é útil em um estudo mais avançado de curvas elípticas.

O gráfico real de uma curva não singular tem dois componentes se o seu discriminante for positivo, e um componente se for negativo. Por exemplo, nos gráficos mostrados na figura à direita, o discriminante no primeiro caso é e no segundo caso é

Lei de grupo Ao trabalhar no plano projetivo, a equação em coordenadas homogêneas torna-se:

Esta equação não está definida na reta no infinito, mas podemos multiplicar por para obter uma que esteja:

Esta equação resultante é definida em todo o plano projetivo, e a curva que ela define projeta-se na curva elíptica de interesse. Para encontrar sua interseção com a reta no infinito, podemos simplesmente postular . Isso implica , o que em um corpo significa . Por outro lado, pode assumir qualquer valor e, assim, todas as triplas satisfazem a equação. Na geometria projetiva, esse conjunto é simplesmente o ponto , que é, portanto, a interseção única da curva com a reta no infinito.

Como a curva é suave e, portanto, contínua, pode-se mostrar que esse ponto no infinito é o elemento neutro de uma estrutura de grupo cuja operação é descrita geometricamente da seguinte forma:

Como a curva é simétrica em relação ao eixo , dado qualquer ponto , podemos tomar como sendo o seu ponto oposto. Temos então , pois está no plano , de modo que é também o simétrico de em relação à origem, representando assim o mesmo ponto projetivo.

Se e são dois pontos na curva, podemos descrever de forma única um terceiro ponto da seguinte maneira. Primeiro, desenhe a reta que intercepta e . Esta reta geralmente interceptará a cúbica em um terceiro ponto, . Tomamos então como sendo , o ponto oposto a .

Esta definição para a adição funciona, exceto em alguns casos especiais relacionados ao ponto no infinito e à multiplicidade de interseção. O primeiro é quando um dos pontos é . Aqui, definimos , tornando a identidade (elemento neutro) do grupo. Se , temos apenas um ponto, logo não podemos definir a reta entre eles. Neste caso, usamos a reta tangente à curva neste ponto como nossa reta. Na maioria dos casos, a tangente interceptará um segundo ponto , e podemos tomar o seu oposto. Se e forem opostos um do outro, definimos . Por fim, se for um ponto de inflexão (um ponto onde a concavidade da curva muda), tomamos como o próprio , e é simplesmente o ponto oposto a si mesmo, ou seja, ele próprio. centro Seja um corpo sobre o qual a curva é definida (isto é, os coeficientes da equação ou equações que definem a curva estão em ) e denote a curva por . Então os pontos -racionais de são os pontos em cujas coordenadas estão todas em , incluindo o ponto no infinito. O conjunto de pontos -racionais é denotado por . é um grupo, porque as propriedades de equações polinomiais mostram que se está em , então também está em , e se dois pontos entre , e estão em , então o terceiro também está. Além disso, se é um subcorpo de , então é um subgrupo de .

Interpretação algébrica Os grupos acima podem ser descritos algebricamente, bem como geometricamente. Dada a curva sobre o corpo (cuja característica assumimos não ser nem 2 nem 3), e os pontos e na curva, suponha primeiro que (caso 1). Seja a equação da reta que intercepta e , que possui a seguinte inclinação:

A equação da reta e a equação da curva se interceptam nos pontos , e , portanto as equações têm valores de idênticos nestes valores.

o que é equivalente a

Como , e são soluções, esta equação tem suas raízes exatamente nos mesmos valores de que

e como ambas as equações são cúbicas, elas devem ser o mesmo polinômio a menos de um escalar. Então, igualando os coeficientes de em ambas as equações:

e resolvendo para a incógnita :

O valor de segue da equação da reta:

e este é um elemento de , pois também o é.

Se , então há duas opções: se (caso 3), incluindo o caso onde (caso 4), então a soma é definida como ; assim, o inverso de cada ponto na curva é encontrado refletindo-o sobre o eixo .

Se , então e (caso 2 usando como ). A inclinação é dada pela tangente à curva em .

Uma expressão mais geral para que funciona tanto no caso 1 quanto no caso 2 é:

onde a igualdade com depende de e obedecerem a .

Curvas não-Weierstrass Para a curva (a forma geral de uma curva elíptica com característica 3), as fórmulas são semelhantes, com e .

Para uma curva cúbica geral que não está na forma normal de Weierstrass, ainda podemos definir uma estrutura de grupo designando um de seus nove pontos de inflexão como a identidade . No plano projetivo, cada reta interceptará uma cúbica em três pontos ao contabilizar a multiplicidade. Para um ponto , é definido como o único terceiro ponto na reta que passa por e . Então, para quaisquer e , é definido como , onde é o único terceiro ponto na reta contendo e .

Para um exemplo da lei de grupo sobre uma curva não-Weierstrass, veja curvas de Hesse.

Curvas elípticas sobre os números racionais Uma curva definida sobre o corpo dos números racionais também é definida sobre o corpo dos números reais. Portanto, a lei de adição (de pontos com coordenadas reais) pelo método da tangente e secante pode ser aplicada a . As fórmulas explícitas mostram que a soma de dois pontos e com coordenadas racionais tem novamente coordenadas racionais, já que a reta que une e tem coeficientes racionais. Desta forma, mostra-se que o conjunto de pontos racionais de forma um subgrupo do grupo de pontos reais de .

Pontos inteiros Esta seção trata dos pontos de tais que é um número inteiro.

Por exemplo, a equação tem oito soluções inteiras com :T. Nagell, L'analyse indéterminée de degré supérieur, Mémorial des sciences mathématiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56–59.OEIS: https://oeis.org/A029728

= .

Como outro exemplo, a equação de Ljunggren, uma curva cuja forma de Weierstrass é , tem apenas quatro soluções com :

= .

A estrutura dos pontos racionais Pontos racionais podem ser construídos pelo método das tangentes e secantes detalhado acima, começando com um número finito de pontos racionais. Mais precisamente, o Teorema de Mordell-Weil afirma que o grupo é um grupo (abeliano) finitamente gerado. Pelo teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados, é, portanto, uma soma direta finita de cópias de e grupos cíclicos finitos.

A prova do teorema envolve duas partes. A primeira parte mostra que para qualquer inteiro , o grupo quociente é finito (este é o teorema fraco de Mordell-Weil). A segunda, introduzindo uma função de altura nos pontos racionais definida por e se (diferente do ponto no infinito ) tiver como abscissa o número racional (com e coprimos). Esta função de altura tem a propriedade de que cresce aproximadamente como o quadrado de . Além disso, existem apenas finitos pontos racionais com altura menor do que qualquer constante em .