Em matemática, o grupo especial unitário de grau , denotado , é o grupo de Lie das matrizes unitárias com determinante .
As matrizes do grupo unitário mais geral podem ter determinantes complexos com valor absoluto 1, em vez de 1 real no caso especial.
A operação de grupo é a multiplicação de matrizes. O grupo especial unitário é um subgrupo normal do grupo unitário , que consiste em todas as matrizes unitárias . Como um grupo clássico compacto, é o grupo que preserva o produto interno padrão em . Ele próprio é um subgrupo do grupo linear geral,
Os grupos encontram ampla aplicação no Modelo Padrão da física de partículas, especialmente na interação eletrofraca e na cromodinâmica quântica.
O caso mais simples, , é o grupo trivial, tendo apenas um único elemento. O grupo é isomorfo ao grupo dos quaterniões de norma 1 e, portanto, é difeomorfo à 3-esfera. Como os quaterniões unitários podem ser usados para representar rotações no espaço tridimensional (unicamente a menos de sinal), existe um homomorfismo sobrejetor de para o grupo de rotação cujo núcleo é . Como os quaterniões podem ser identificados como a subálgebra par da álgebra de Clifford , é idêntico a um dos grupos de simetria dos spinores, Spin(3), que permite uma apresentação spinorial das rotações.
Propriedades O grupo especial unitário é um grupo de Lie estritamente real (em oposição a um grupo de Lie complexo mais geral). Sua dimensão como uma variedade real é . Topologicamente, é compacto e simplesmente conexo., Proposição 13.11 Algebricamente, é um grupo de Lie simples (o que significa que sua álgebra de Lie é simples; veja abaixo).
O centro de é isomorfo ao grupo cíclico e é composto pelas matrizes diagonais para uma raiz -ésima da unidade e a matriz identidade .
Seu grupo de automorfismos externos para é , enquanto o grupo de automorfismos externos de é o grupo trivial.
Um toro maximal de posto é dado pelo conjunto das matrizes diagonais com determinante . O grupo de Weyl de é o grupo simétrico , que é representado por matrizes de permutação sinalizadas (os sinais são necessários para garantir que o determinante seja ).
A álgebra de Lie de , denotada por , pode ser identificada com o conjunto das matrizes complexas anti-hermitianas sem traço, com o comutador regular como um colchete de Lie. Os físicos de partículas costumam usar uma representação diferente, mas equivalente: o conjunto das matrizes complexas hermitianas sem traço, com o colchete de Lie dado por vezes o comutador.
Álgebra de Lie
A álgebra de Lie de consiste em matrizes skew-hermitianas com traço zero. Proposição 3.24 Esta álgebra de Lie (real) tem dimensão . Mais informações sobre a estrutura desta álgebra de Lie podem ser encontradas abaixo em .
Representação fundamental Na literatura de física, é comum identificar a álgebra de Lie com o espaço das matrizes hermitianas (em vez das skew-hermitianas) de traço zero. Ou seja, a álgebra de Lie dos físicos difere por um fator de da dos matemáticos. Com essa convenção, pode-se então escolher geradores que são matrizes complexas sem traço hermitianas, onde:
onde os são as constantes de estrutura e são antissimétricas em todos os índices, enquanto os coeficientes são simétricos em todos os índices.
Como consequência, o comutador é:
e o anticomutador correspondente é:
O fator de na relação de comutação surge da convenção da física e não está presente quando se usa a convenção dos matemáticos.
A condição de normalização convencional é
Os geradores satisfazem a identidade de Jacobi:
Por convenção, na literatura de física os geradores são definidos como as matrizes complexas hermitianas sem traço com um fator : para , os geradores são escolhidos como , , onde são as matrizes de Pauli, enquanto para o caso de define-se onde são as matrizes de Gell-Mann. Com essas definições, os geradores satisfazem a seguinte condição de normalização:
Representação adjunta Na representação adjunta de dimensão , os geradores são representados por matrizes , cujos elementos são definidos pelas próprias constantes de estrutura:
SU(2)
Usando a multiplicação de matrizes como operação binária, forma um grupo, Exercício 1.5
onde a linha sobreposta denota a conjugação complexa.
Difeomorfismo com a 3-esfera S3 Se considerarmos como um par em onde e , então a equação torna-se
Esta é a equação da 3-esfera . Isso também pode ser visto usando uma imersão: o mapa
onde denota o conjunto das matrizes complexas 2 por 2, é um mapa linear real injetivo (considerando difeomorfo a e difeomorfo a ). Portanto, a restrição de à 3-esfera (pois o módulo é ), denotada , é uma imersão da 3-esfera em uma subvariedade compacta de , a saber, .
Portanto, como uma variedade, é difeomorfa a , o que mostra que é simplesmente conexo e que pode ser dotada da estrutura de um grupo de Lie compacto e conexo.
Isomorfismo com o grupo dos versores Os quaterniões de norma 1 são chamados de versores, pois geram o grupo de rotação : A matriz :
pode ser mapeada no quaternião
Este mapa é de fato um isomorfismo de grupos. Além disso, o determinante da matriz é a norma quadrada do quaternião correspondente. Claramente, qualquer matriz em é desta forma e, como tem determinante , o quaternião correspondente tem norma . Assim, é isomorfo ao grupo dos versores.
Relação com rotações espaciais
Cada versor está naturalmente associado a uma rotação espacial em 3 dimensões, e o produto de versores está associado à composição das rotações associadas. Além disso, cada rotação surge de exatamente dois versores dessa maneira. Em resumo: existe um homomorfismo sobrejetor 2:1 de para o ; consequentemente, é isomorfo ao grupo quociente , a variedade subjacente a é obtida identificando pontos antípodas da 3-esfera , e é o recobrimento universal de .
Álgebra de Lie A álgebra de Lie de consiste em matrizes skew-hermitianas com traço zero. Proposição 3.24 Explicitamente, isso significa
A álgebra de Lie é então gerada pelas seguintes matrizes,
que têm a forma do elemento geral especificado acima.
Isso também pode ser escrito como usando as matrizes de Pauli.
Elas satisfazem as relações de quaternião , e . O colchete de comutação é, portanto, especificado por
Os geradores acima estão relacionados às matrizes de Pauli por e . Esta representação é rotineiramente usada na mecânica quântica para representar o spin de partículas fundamentais como os elétrons. Eles também servem como vetores unitários para a descrição das nossas 3 dimensões espaciais na gravitação quântica em loop. Eles também correspondem às portas Pauli X, Y e Z, que são geradores padrão para as portas de um único qubit, correspondendo a rotações 3D em torno dos eixos da esfera de Bloch.
A álgebra de Lie serve para elaborar a teoria das representações de .
SU(3)
O grupo é um grupo de Lie simples de 8 dimensões consistindo de todas as matrizes unitárias com determinante .
Topologia O grupo é um grupo de Lie compacto e simplesmente conexo. Proposição 13.11 Sua estrutura topológica pode ser entendida observando que age transitivamente na esfera unitária em . O estabilizador de um ponto arbitrário na esfera é isomorfo a , que topologicamente é uma 3-esfera. Segue-se então que é um fibrado sobre a base com fibra . Como as fibras e a base são simplesmente conexas, a simples conexidade de segue por meio de um resultado topológico padrão (a sequência exata longa de grupos de homotopia para fibrados). Seção 13.2
Os fibrados sobre são classificados por , pois qualquer fibrado desse tipo pode ser construído considerando fibrados triviais nos dois hemisférios e observando a função de transição em sua interseção, que é uma cópia de , então
Então, todas essas funções de transição são classificadas por classes de homotopia de mapase como em vez de , não pode ser o fibrado trivial e, portanto, deve ser o único fibrado não trivial (torcido). Isso pode ser mostrado observando a sequência exata longa induzida nos grupos de homotopia.
Teoria da representação A teoria da representação de é bem compreendida. Capítulo 6 Descrições dessas representações, do ponto de vista de sua álgebra de Lie complexificada , podem ser encontradas nos artigos sobre representações de álgebra de Lie ou coeficientes de Clebsch–Gordan para .
Álgebra de Lie === Os geradores, , da álgebra de Lie de na representação definidora (da física, hermitiana) sãoonde , as matrizes de Gell-Mann, são o análogo em das matrizes de Pauli para :
Esses geram todas as matrizes hermitianas sem traço da álgebra de Lie, conforme necessário. Observe que , , são antissimétricas.
Eles obedecem às relaçõesou, equivalentemente,
Os são as constantes de estrutura da álgebra de Lie, dadas porenquanto todos os outros não relacionados a estes por permutação são zero. Em geral, eles se anulam a menos que contenham um número ímpar de índices do conjunto .
Os coeficientes simétricos assumem os valores
Eles se anulam se o número de índices do conjunto for ímpar.
Um elemento genérico do grupo gerado por uma matriz hermitiana sem traço, normalizada como , pode ser expresso como um polinômio matricial de segunda ordem em :; onde
Estrutura da álgebra de Lie Como observado acima, a álgebra de Lie de consiste em matrizes skew-hermitianas com traço zero. Proposição 3.24
A complexificação da álgebra de Lie é , o espaço de todas as matrizes complexas com traço zero. Seção 3.6 Uma subálgebra de Cartan então consiste nas matrizes diagonais com traço zero, Seção 7.7.1 que identificamos com vetores em cujas entradas somam zero. As raízes consistem então em todas as permutações de .
Uma escolha de raízes simples é
Assim, tem posto e seu diagrama de Dynkin é dado por , uma cadeia de nós. Seção 8.10.1 Sua matriz de Cartan é
Seu grupo de Weyl ou grupo de Coxeter é o grupo simétrico , o grupo de simetria do -simplexo.
Grupo especial unitário generalizado Para um corpo , o grupo especial unitário generalizado sobre F, , é o grupo de todas as transformações lineares de determinante 1 de um espaço vetorial de posto sobre que deixam invariante uma forma não degenerada hermitiana de assinatura . Este grupo é frequentemente chamado de grupo especial unitário de assinatura sobre . O corpo pode ser substituído por um anel comutativo, caso em que o espaço vetorial é substituído por um módulo livre.
Especificamente, fixe uma matriz hermitiana de assinatura em , então todossatisfazem
Frequentemente se vê a notação sem referência a um anel ou corpo; nesse caso, o anel ou corpo ao qual se faz referência é e isso dá um dos grupos de Lie clássicos. A escolha padrão para quando é
No entanto, pode haver melhores escolhas para para certas dimensões que exibem mais comportamento sob restrição a subanéis de .
Exemplo Um exemplo importante desse tipo de grupo é o grupo modular de Picard que age (projetivamente) no espaço hiperbólico complexo de dimensão dois, da mesma forma que age (projetivamente) no espaço hiperbólico real de dimensão dois. Em 2005, Gábor Francsics e Peter Lax calcularam um domínio fundamental explícito para a ação desse grupo em .
Um outro exemplo é , que é isomorfo a .
Subgrupos importantes Na física, o grupo especial unitário é usado para representar simetrias férmionicas. Nas teorias de quebra de simetria, é importante ser capaz de encontrar os subgrupos do grupo especial unitário. Subgrupos de que são importantes na física de GUT são, para ,onde denota o produto direto e , conhecido como grupo circular, é o grupo multiplicativo de todos os números complexos com valor absoluto 1.
Para completar, existem também os subgrupos ortogonal e simplético,
Como o posto de é e o de é 1, uma verificação útil é que a soma dos postos dos subgrupos é menor ou igual ao posto do grupo original. é um subgrupo de vários outros grupos de Lie,Veja Grupo spinorial e Grupo de Lie simples para , e .
Existem também os isomorfismos acidentais: , , e .