thumb|upright=1.35|Pontos de Lagrange no sistema Sol-Terra (sem escala). A órbita da Terra aqui é no sentido anti-horário thumb|Um gráfico de contorno do potencial efetivo devido à gravidade e à força centrífuga de um sistema de dois corpos em um referencial rotativo. As setas indicam os gradientes descendentes do potencial em torno dos cinco pontos de Lagrange, em direção a eles (vermelho) e longe deles (azul). Contra-intuitivamente, os pontos L4 e L5 são os pontos altos do potencial. Nos próprios pontos, essas forças são equilibradas thumb |upright=1.35|right|Um exemplo de uma nave espacial em Sol-Terra L2
Na mecânica celeste, os pontos de Lagrange (também conhecidos como pontos de lagrangeanos ou pontos de libração) são pontos de equilíbrio para objetos de pequena massa sob a influência gravitacional de dois corpos massivos em órbita. Matematicamente, isso envolve a solução do problema restrito de três corpos.
Normalmente, os dois corpos massivos exercem uma força gravitacional desequilibrada em um ponto, alterando a órbita do que quer que esteja naquele ponto. Nos pontos de Lagrange, as forças gravitacionais dos dois grandes corpos e a força centrífuga se equilibram. Isso pode tornar os pontos de Lagrange uma excelente localização para satélites, pois poucas correções de órbita são necessárias para manter a órbita desejada.
Para qualquer combinação de dois corpos orbitais, existem cinco pontos de Lagrange, L1 a L5, todos no plano orbital dos dois grandes corpos. Existem cinco pontos de Lagrange para o sistema Sol-Terra e cinco pontos de Lagrange diferentes para o sistema Terra-Lua. L1, L2 e L3 estão na linha que passa pelos centros dos dois grandes corpos, enquanto L4 e L5 atuam cada um como o terceiro vértice de um triângulo equilátero formado com os centros dos dois grandes corpos.
Quando a proporção de massa dos dois corpos é grande o suficiente, os pontos L4 e L5 são pontos estáveis, o que significa que os objetos podem orbitá-los e que eles têm a tendência de atrair objetos para eles. Vários planetas têm asteroides troianos perto de seus pontos L4 e L5 em relação ao Sol; Júpiter tem mais de um milhão desses troianos.
Alguns pontos de Lagrange estão sendo usados para exploração espacial. Dois importantes pontos de Lagrange no sistema Sol-Terra são L1, entre o Sol e a Terra, e L2, na mesma linha no lado oposto da Terra; ambos estão bem fora da órbita da Lua. Atualmente, um satélite artificial chamado Deep Space Climate Observatory (DSCOVR) está localizado em L1 para estudar o vento solar vindo do Sol em direção à Terra e monitorar o clima da Terra, tirando imagens e enviando-as de volta. O Telescópio Espacial James Webb, um poderoso observatório espacial, está localizado em L2. Isso permite que o grande protetor solar do satélite proteja o telescópio da luz e do calor do Sol e da Terra (e da Lua).
História Os três pontos colineares de Lagrange (L1, L2, L3) foram descobertos por Leonhard Euler por volta de 1750, uma década antes de Joseph-Louis Lagrange descobrir os dois restantes. (16MB)
Em 1772, Lagrange publicou um "Ensaio sobre o problema dos três corpos". No primeiro capítulo, ele considerou o problema geral dos três corpos. A partir disso, no segundo capítulo, ele demonstrou duas soluções especiais de padrão constante, a colinear e a equilátera, para quaisquer três massas, com órbitas circulares.
Pontos de Lagrange
Os cinco pontos de Lagrange são rotulados e definidos da seguinte forma:
Ponto L1 O ponto L1 encontra-se na linha definida entre as duas grandes massas M1 e M2. É o ponto onde a atração gravitacional de M2 e a de M1 se combinam para produzir um equilíbrio. Um objeto que orbita o Sol mais próximo do que a Terra normalmente teria um período orbital mais curto do que a Terra, mas isso ignora o efeito da atração gravitacional da Terra. Se o objeto estiver diretamente entre a Terra e o Sol, a gravidade da Terra neutraliza parte da atração do Sol sobre o objeto, aumentando o período orbital do objeto. Quanto mais próximo da Terra o objeto estiver, maior será esse efeito. No ponto L1, o período orbital do objeto torna-se exatamente igual ao período orbital da Terra. L1 está a cerca de 1.5 milhão de kms, ou 0.01 UA, da Terra na direção do Sol.
Ponto L2 O ponto L2 está na linha que passa pelas duas grandes massas além da menor das duas. Aqui, as forças gravitacionais combinadas das duas grandes massas equilibram o efeito centrífugo em um corpo em L2. No lado oposto da Terra ao Sol, o período orbital de um objeto normalmente seria maior que o da Terra. A atração extra da gravidade da Terra diminui o período orbital do objeto e, no ponto L2, esse período orbital torna-se igual ao da Terra. Como L1, L2 está a cerca de 1.5 milhão de kms ou 0.01 UA da Terra (longe do Sol). Um exemplo em L2 é o Telescópio Espacial James Webb, projetado para operar perto da Terra-Sol em L2. Exemplos anteriores incluem o Wilkinson Microwave Anisotropy Probe e seu sucessor, Planck.
Ponto L3 O ponto L3 encontra-se na linha definida pelas duas grandes massas, além da maior das duas. Dentro do sistema Sol-Terra, o ponto L3 existe no lado oposto do Sol, um pouco fora da órbita da Terra e um pouco mais próximo do centro do Sol do que a Terra. Essa colocação ocorre porque o Sol também é afetado pela gravidade da Terra e, portanto, orbita em torno do baricentro dos dois corpos, que está bem dentro do corpo do Sol. Um objeto à distância da Terra ao Sol teria um período orbital de um ano se apenas a gravidade do Sol fosse considerada. Mas um objeto no lado oposto do Sol e da Terra e diretamente alinhado com ambos "sente" a gravidade da Terra aumentando ligeiramente a do Sol e, portanto, deve orbitar um pouco mais longe do baricentro da Terra e do Sol para ter o mesmo período de um ano. É no ponto L3 que a atração combinada da Terra e do Sol faz com que o objeto orbite com o mesmo período da Terra, na verdade orbitando uma massa Terra+Sol com o baricentro Terra-Sol em um dos focos de sua órbita.
Ponto L4 e L5 thumb|right|200px|Acelerações gravitacionais em L4 Os pontos L4 e L5 estão nos terceiros vértices dos dois triângulos equiláteros no plano da órbita cuja base comum é a linha entre os centros das duas massas, de modo que o ponto esteja 60° à frente de (L4) ou atrás de (L5) a massa menor em relação à sua órbita em torno da massa maior.
Estabilidade Os pontos triangulares (L4 e L5) são equilíbrios estáveis, desde que a razão de seja maior que 24.96.Na verdade (25 + 3)/2 ≈ Este é o caso do sistema Sol-Terra, do sistema Sol-Júpiter e, por uma margem menor, do sistema Terra-Lua. Quando um corpo nesses pontos é perturbado, ele se afasta do ponto, mas o fator oposto daquele que é aumentado ou diminuído pela perturbação (seja a gravidade ou a velocidade induzida pelo momento angular) também aumentará ou diminuirá, curvando o caminho do objeto em uma órbita estável em forma de feijão em torno do ponto (como visto no quadro de referência co-rotativo)., Neil J. Cornish, with input from Jeremy Goodman
Os pontos L1, L2 e L3 são posições de equilíbrio instável. Qualquer objeto orbitando em L2 ou L3 tenderá sair da órbita; portanto, é raro encontrar objetos naturais lá, e as sondas espaciais que habitam essas áreas devem empregar uma quantidade pequena, mas crítica, de manutenção de estação para manter sua posição.
Objetos naturais em pontos de Lagrange
Devido à estabilidade natural de L4 e L5, é comum que objetos naturais sejam encontrados orbitando nesses pontos de Lagrange de sistemas planetários. Os objetos que habitam esses pontos são genericamente referidos como 'troianos' ou 'asteroides troianos'. O nome deriva dos nomes que foram dados aos asteroides descobertos orbitando nos pontos Sol-Júpiter L4 e L5, que foram tirados de personagens mitológicos que aparecem na Ilíada de Homero, um poema épico ambientado durante a Guerra de Troia. Asteroides no ponto L4, à frente de Júpiter, são nomeados em homenagem a personagens gregos na Ilíada e referidos como o "campo grego". Aqueles no ponto L5 recebem o nome de personagens troianos e são chamados de "campo troiano". Ambos os campos são considerados tipos de corpos troianos.
Como o Sol e Júpiter são os dois objetos mais massivos do Sistema Solar, existem mais troianos Sol-Júpiter do que para qualquer outro par de corpos. No entanto, um número menor de objetos é conhecido nos pontos de Lagrange de outros sistemas orbitais:
Os pontos Sol-Terra L4 e L5 contêm poeira interplanetária e pelo menos dois asteroides, e . Os pontos Terra-Lua L4 e L5 contêm concentrações de poeira interplanetária, conhecidas como nuvens de Kordylewski. A estabilidade nesses pontos específicos é muito complicada pela influência gravitacional solar. Os pontos Sol-Netuno L4 e L5 contêm várias dezenas de objetos conhecidos, os troianos de Netuno. Marte tem quatro troianos de Marte aceitos: 5261 Eureka, , e . A lua de Saturno, Tétis, tem duas luas menores de Saturno em seus pontos L4 e L5, Telesto e Calipso. Outra lua de Saturno, Dione também tem dois coorbitais Lagrange, Helene em seu ponto L4 e Polideuces em L5. As luas vagam azimutalmente sobre os pontos de Lagrange, com Polideuces descrevendo os maiores desvios, movendo-se até 32° de distância do ponto Saturno-Dione no L5. Uma versão da hipótese do grande impacto postula que um objeto chamado Theia se formou no ponto Sol-Terra L4 ou L5 e colidiu com a Terra depois que sua órbita se desestabilizou, formando a Lua. Em estrelas binárias, o lóbulo de Roche tem seu ápice localizado em L1; se uma das estrelas se expandir além de seu lóbulo de Roche, ela perderá matéria para sua estrela companheira, conhecida como transbordamento do lóbulo de Roche.
Objetos que estão em órbitas de ferradura às vezes são erroneamente descritos como troianos, mas não ocupam pontos de Lagrange. Objetos conhecidos em órbitas de ferradura incluem 3753 Cruithne com a Terra e as luas de Saturno, Epimeteu e Jano.
Detalhes físicos e matemáticos thumb|link=|Visualização da relação entre os pontos de Lagrange (vermelho) de um planeta (azul) orbitando uma estrela (amarelo) no sentido anti-horário e o potencial efetivo no plano que contém a órbita (modelo de folha de borracha cinza com contornos roxos de igual potencial)Clique para animação Os pontos de Lagrange são as soluções de padrão constante do problema restrito de três corpos. Por exemplo, dados dois corpos maciços em órbitas em torno de seu baricentro comum, há cinco posições no espaço onde um terceiro corpo, de massa comparativamente desprezível, poderia ser colocado de modo a manter sua posição relativa aos dois corpos maciços. Isso ocorre porque as forças gravitacionais combinadas dos dois corpos maciços fornecem a força centrípeta exata necessária para manter o movimento circular que corresponde ao seu movimento orbital.
Alternativamente, quando visto em um referencial rotativo que corresponde à velocidade angular dos dois corpos em co-órbita, nos pontos de Lagrange, os campos gravitacionais combinados de dois corpos maciços equilibram a pseudo-força centrífuga, permitindo que o terceiro corpo menor permaneça estacionário (neste quadro) em relação aos dois primeiros.
L1 A localização de L1 é a solução para a seguinte equação, a gravitação fornecendo a força centrípeta:
onde r é a distância do ponto L1 do objeto menor, R é a distância entre os dois objetos principais e M1 e M2 são as massas do objeto grande e pequeno, respectivamente. A quantidade entre parênteses à direita é a distância de L1 do centro de massa. A solução para r é a única raiz real da seguinte função quíntica
onde
e
No entanto, se a massa do objeto menor (M2) for muito menor que a massa do objeto maior (M1), então L1 e L2 estão aproximadamente a distâncias iguais r do objeto menor, igual ao raio da esfera de Hill, dado por:
Também podemos escrever isso como: