miniaturadaimagem|188x188px|O centro de massa é o único ponto do satélite que segue a trajetória indicada. Em física, o centro de massa é o ponto hipotético onde toda a massa de um sistema físico está concentrada e que se move como se todas as forças externas estivessem sendo aplicadas nesse ponto.
Se o sistema for constituído por um corpo, o centro de massa pode ser considerado como o ponto onde aplicada uma força o corpo se move sem rotacionar, com torque resultante zero. Se o sistema for constituído por mais de um corpo, o centro de massa será o ponto em que, se unir os corpos em suas respectivas posições por um elemento que os integre (tal como um segmento rígido), pode ser suspendido mantendo todos os corpos a uma mesma altura.
O uso do centro de massa na mecânica clássica é atribuído à simplificação de movimentos compostos realizados por corpos rígidos – aqueles em que a posição relativa das partículas que o compõem não muda ao longo do tempo - transformando-os em movimentos simples, onde é possível que haja aplicação das Leis de Newton como uma partícula. Quando um objeto de formato irregular é lançado ao ar, por exemplo, há diferentes movimentos em todas as partículas que o constituem, entretanto, há um ponto em que segue o movimento de tal objeto como se fosse uma partícula, esse ponto é o centro de massa.Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (2008). Lições de Física–Vol. 1. Tradução de Adriana VR da Silva e Kaline R. Coutinho. Porto Alegre: Bookman.
O centro de massa também pode ser chamado de centro de gravidade quando um corpo estiver sob a influência de um campo gravitacional uniforme, ou seja, aquele em que a força gravitacional é igualmente exercida em todos os pontos do objeto. Ainda, se um objeto tiver forma regular e densidade homogênea, o centro de massa coincidirá com o centroide, ou seja, o centro geométrico do objeto.
História 233x233px|Considerando que os corpos possuem mesma massa e estão à mesma distância do fulcro da alavanca, nas duas situações o centro de massa se localizará sobre o ponto de apoio, mesmo com os corpos ocupando posições diferentes nesses casos.|miniaturadaimagem Inicialmente, o conceito de centro de massa foi apresentado na forma de centro de gravidade na Grécia Antiga por Arquimedes de Siracusa, engenheiro, físico e matemático. Isso se deve por que o centro de massa em um objeto é o mesmo que o centro de gravidade se o campo gravitacional for uniforme. Trabalhando em campo gravitacional uniforme, ele demonstrou que o torque exercido em uma alavanca sempre seria o mesmo se, mudando as posições dos objetos, o centro de massa permanecesse fixo.
Já em seu trabalho com corpos flutuantes, Arquimedes descobriu que a posição e orientação de um objeto na superfície de um fluido é aquela onde o centro de massa tende a ficar na posição mais baixa possível. Além dessas descobertas, ele desenvolveu técnicas matemáticas para definir o centro de massa de diversos objetos de densidade uniforme.Shore, Steven N. (2008), Forces in Physics: A Historical Perspective, Greenwood Press, ISBN 978-0313-33303-3
Localização do centro de massa esquerda|miniaturadaimagem|321x321px|A intersecção das linhas de prumo no objeto é o Centro de Massa do mesmo. Antes de se iniciar o processo, é necessário compreender que o centro de massa será o mesmo que o centro de gravidade se o campo gravitacional for uniforme. O experimento só terá efeito nesse caso. O centro de massa de um corpo de densidade uniforme estará localizado em seu eixo de simetria.
Para encontrar o centro de massa de um objeto plano – como uma placa metálica ou um quadro – deve-se pendurá-lo em dois pontos diferentes, sendo que, em cada etapa, deve-se traçar uma linha reta vertical do ponto de suspensão até a base do objeto. Dessa forma, as duas linhas traçadas se encontrarão em um ponto comum, sendo esse o centro de massa do objeto.Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973), An Introduction to Mechanics (2nd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-035048-5
Para um objeto com um formato complexo – aqueles ainda planos, mas sem uma forma geométrica definida conhecida – é possível encontrar o centro de massa subdividindo-o em pequenas partes mais simples, sendo que, se for possível encontrar a massa total e o centro de massa de cada parte, então o centro de massa do objeto será a média de suas partes.Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew (1963), The Feynman Lectures on Physics, Addison Wesley, ISBN 0-201-02116-1
Esse processo também é válido para objetos ocos, valendo-se considerar o espaço vazio como uma massa negativa – o objeto será de densidade uniforme, então, basta apenas calcular a massa que existiria em determinado volume e considerá-la como negativa.Hamill, Patrick (2009), Intermediate Dynamics, Jones & Bartlett Learning, ISBN 978-0-7637-5728-1 Para objetos de formato irregular, onde os métodos anteriores mostram-se ineficientes para medidas, pode-se ser utilizado um planímetro para realizar os cálculos de área, e então conhecida a densidade do objeto, obter sua massa.SANGWIN, CHRISTOPHER J. (2006), "Locating the centre of mass by mechanical means", Journal of the Oughtred Society, 15, archived from the original on 5 October 2011, retrieved 23 October 2011.
Centro de massa de um sistema de partículas centro|371x371px|Possível localização do centro de massa entre duas partículas.|miniaturadaimagem Para definir o centro de massa (CM) de um sistema de partículas deve-se considerar três tipos de variáveis desse sistema: o número de partículas que o compõem, a massa e a posição de cada partícula. Podemos deduzir a equação geral da definição do Centro de Massa a partir de um sistema simples de apenas duas partículas.HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física, volume 1: Mecânica. 10ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 372 p.
Sistema com duas partículas Dadas duas partículas de massa e separadas por uma distância , estabelece-se arbitrariamente a origem do eixo x como a posição da partícula de massa .
A posição do centro de massa (CM) desse sistema de duas partículas pode ser definida como:
Se , existe apenas uma partícula e o centro de massa deve estar na posição dessa partícula uma vez que será igual a zero.
Se , o sistema apresenta apenas uma partícula (de massa ). A posição desta partícula será igual a .
Se , o centro de massa se encontra no ponto médio da distância entre as duas partículas.
Se e forem diferentes de , a posição do centro de massa assume valores entre e e é definida como:
Sendo a massa total do sistema, ou seja, , temos:
Sistema com n partículas Considerando um sistema com o número n de partículas, podemos definir de forma geral o Centro de Massa a partir da equação anterior.
Dado um sistema com n partículas posicionadas ao longo de um eixo x, no qual a massa total é dada por , a posição do centro de massa é definida por:
Além disso, definindo o momento linear do sistema como
verificamos rapidamente que . Portanto, se , temos que . Logo, garantindo um sistema inicial em repouso e verificando que não está sujeito a forças externas (), garantimos, por definição, a conservação do momento linear, e, por conseguinte, a conservação do centro de massa, independentemente dos movimentos internos dos constituintes do sistema.
Sistema de três dimensões Uma vez que determinado sistema de partículas ocupa três dimensões, a definição do centro de massa desse sistema deve ser feita considerando cada dimensão de forma independente.
Dado um sistema de com n partículas distribuídas em três dimensões, a posição do centro de massa é dada por três coordenadas (x, y e z) definidas por:
Sistema de três dimensões (equação vetorial) 244x244px|Exemplo de localização de uma partícula através dos vetores de posição.|miniaturadaimagem
O centro de massa de um sistema de três dimensões também pode ser definido a partir do vetor posição desse sistema. Dada uma partícula de coordenadas , e seu vetor posição é definido por:
Em que o índice indica a partícula, e , e são os vetores unitários que apontam, respectivamente, no sentido positivo do eixo x, y e z.
De forma análoga, a posição do centro de massa de um sistema de partículas é definida pelo vetor posição:
Em que é a massa total do sistema.
Centro de massa de corpos maciços (homogêneos) Para definir o centro de massa de objetos homogêneos divide-se e distribui-se a massa de um objeto de forma contínua, tornando cada partícula do objeto elementos infinitesimais de massa . Desta forma as coordenadas do centro de massa são definidas por:
Em que é a massa do corpo.
Considerando que objetos homogêneos apresentam massa especifica (massa por unidade de volume) representada pelo símbolo ρ (letra grega rô) e que a mesma apresenta valores iguais para todos os elementos infinitesimais destes objetos define-se:
Em que é o volume ocupado por um elemento de massa , e é o volume total do objeto
Segunda Lei de Newton para um sistema de partículas Movimento do centro de massa de um sistema Dado um conjunto de n partículas de massa (possivelmente) diferentes, para descrever o movimento do centro de massa desse conjunto (que age como uma partícula cuja massa é igual à massa total do sistema), deve-se atribuir-lhe uma posição, uma velocidade e uma aceleração definidos de acordo com a equação vetorial:
é a força resultante de todas as forças externas que agem sobre o sistema;
é a massa total do sistema;
é a aceleração do centro de massa do sistema.
Componentes de e em relação à três eixos de coordenadas:
Momento linear de um sistema de partículas miniaturadaimagem|384x384px|Momento Linear em um Sistema de Partículas é encontrado usando o centro de massa do sistema. Dado um sistema com n partículas, onde cada partícula apresenta massa, velocidade e momento linear determinados. O momento linear total é definido como a soma vetorial dos momentos lineares de cada partícula.
Desta forma temos o momento linear de um sistema de partículas definido por:
Uso do baricentro Existem dois tipos de corpos conhecidos atualmente que servem para estabelecer formas de analisar o centro de massa: os corpos extensos heterogêneos e os corpos extensos homogêneos.
A aplicação em corpos homogêneos é feita analisando regiões simétricas de polígonos regularesDOLCE, O.; POMPEU, J. N. - Fundamentos da matemática elementar, v.9: geometria plana, 9.ed. São Paulo, atual, 2013. p. 258. e aplicando definições de figuras geométricas, pois eles são objetos que possuem lados e ângulos iguais, como por exemplo, quadrados e cubos. Segundo essa definição, as análises de corpos heterogêneos só podem ser efetuadas a partir do estudo por Cálculo ou por meio da divisão geométrica dos corpos deformados, usando a geometria.
Centro de massa de um quadrado O centro de massa de um quadrado é estabelecido por meio do encontro de suas diagonais – segmentos de retas com extremidades em vértices não consecutivos do polígonoIbidem. p. 133. – esse encontro no centroide do objeto é feito por duas retas que se intercruzam no ponto médio, revelando uma simetria em relação aos ângulos e lados do quadrado.Ibidem. p. 98, 107.
Sendo assim, para calcular a localização do centro de massa em um quadrado é necessário saber inicialmente o valor de seus lados, que será dividido por dois para descobrir o ponto médio, ou seja, L/2. Após fazer esse procedimento, os valores encontrados para o centro de massa estarão em coordenadas no plano cartesiano, em que, a coordenada do eixo x é a base e o do eixo y é a altura. centro|365x365px|Centro de massa em um quadrado que é formado pelo ponto de encontro das diagonais.|miniaturadaimagem
Tendo em vista que o centro de massa de um paralelogramo é o ponto de encontro das diagonais que interceptam os vértices da figura geométrica (objeto), o mesmo procedimento é aplicado para todos corpos extensos homogêneos.SAMPAIO, J. L; CALÇADA C. S. Universo da Física 1. São Paulo: Atual, 2001. 3v. p. 495Ibidem. p. 98