Em matemática, o produto de Cauchy de duas séries de números reais ou complexos
é a série
cujos coeficientes são definidos por
A sequência corresponde à convolução discreta das sequências e .
Séries de potências formais
Se
são séries de potências formais, seu produto é definido por
Nesse contexto, não é necessário considerar a convergência analítica das séries. Para cada expoente , o coeficiente correspondente é obtido por uma soma finita de produtos.
Convergência
Embora cada coeficiente esteja sempre definido, a série pode não convergir. Um resultado publicado por Franz Mertens estabelece que, se uma das séries originais converge absolutamente e a outra converge, então o produto de Cauchy converge e sua soma é o produto das somas das duas séries.
Assim, se
e pelo menos uma das séries converge absolutamente, então
Quando as duas séries convergem absolutamente, o produto de Cauchy também converge absolutamente.
A convergência apenas condicional das duas séries não é suficiente para garantir a convergência do produto. Por exemplo, considere
As séries e convergem condicionalmente. Entretanto, os termos do produto de Cauchy são
Nesse caso,
de modo que não tende a zero e, portanto, a série do produto diverge.
Exemplo
Para , o produto de duas séries geométricas iguais fornece
Como a série geométrica tem soma , segue que
Ver também
Convolução Série de potência formal Série absolutamente convergente
Referências
Categoria:Análise real