miniaturadaimagem|Pintura da matemática Emmy Noether Em álgebra abstracta, um anel noetheriano é um anel comutativo que satisfaz a condição da cadeia ascendente para ideais. O termo noetheriano é uma homenagem à matemática alemã Emmy Noether.

Anéis de polinômios sobre corpos possuem muitas propriedades especiais; propriedades que derivam do fato de que anéis polinomiais não são em certo sentido "grandes demais". Emmy Noether descobriu que uma propriedade fundamental dos anéis de polinômios é a propriedade da cadeia ascendente para ideais.

Para anéis não-comutativos, devemos fazer algumas distinções entre conceitos similares:

Um anel é dito noetheriano à esquerda caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à esquerda. Um anel é dito noetheriano à direita caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à direita. Um anel é dito noetheriano caso seja noetheriano tanto à esquerda quanto à direita.

Para anéis comutativos as três definições coincidem.

Caracterização dos anéis noetherianos Existem outras definições equivalentes para anel noetheriano: Todo ideal é finitamente gerado, isto é, existem em tais que todo elemento de pode ser escrito na forma onde Lam, 2001, p. 19 Todo subconjunto não-vazio de ideais de possui ideal maximal com respeito à inclusão.

Resultados similares existem para anéis noetherianos à esquerda e à direita.

É sabido que para um anel comutativo se todo ideal primo for finitamente gerado, então é noetheriano.

Utilização dos anéis noetherianos A propriedade noetheriana é central na teoria dos anéis e em áreas que utilizam de forma intensiva o conceito de anéis, como a geometria algébrica e a teoria de singularidades. A razão para isto é que a propriedade noetheriana é uma espécie de conceito de finitude na teoria dos anéis. Por exemplo, a propriedade noetheriana de que todo anel de polinômios com coeficientes em um dado corpo é noetheriano permite-nos provar que um sistema infinito de equações polinomiais pode ser substituído por um sistema finito de equações polinomiais com as mesmas soluções.

Como outra aplicação, mencionamos o teorema do ideal principal de Krull: todo ideal principal em um anel comutativo noetheriano tem altura um. Este foi o primeiro resultado a sugerir que os anéis noetherianos constituem uma profunda teoria da dimensão.

Exemplos O anel dos inteiros Qualquer corpo, pois um corpo possui apenas os ideais triviais. onde é um corpo.

Temos também os seguintes exemplos de anéis que não são noetherianos:

O anel dos polinômios em infintas variáveis, A sequência de ideais é ascendente, e não é estacionária. O anel das funções contínuas de Definindo para cada inteiro positivo temos que a cadeia de ideais não é estacionária.

Propriedades Pelo teorema da base de Hilbert, é noetheriano. Toda álgebra comutativa finitamente gerada sobre um corpo é um noetheriana. Todo anel artiniano à esquerda, (resp. à direita), é um anel noetheriano à esquerda, (resp. à esquerda), pelo teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki. Um anel é noetheriano à esquerda se, e somente se, todo -módulo é um módulo noetheriano.

Referências

Categoria:Álgebra