Em lógica matemática, um é um símbolo de uma linguagem formal cujo papel não é determinado apenas pelas regras gerais da lógica, mas pela assinatura escolhida para uma teoria ou classe de estruturas. Em uma linguagem de primeira ordem, os símbolos não lógicos formam o vocabulário específico usado para descrever objetos, relações e operações de um domínio de discurso.
A distinção opõe esses símbolos aos componentes lógicos comuns da linguagem, como conectivos, quantificadores e, nas apresentações usuais da lógica de primeira ordem com identidade, o símbolo de igualdade. Assim, a mesma estrutura lógica pode ser usada em diferentes áreas da matemática por meio da alteração da assinatura: uma linguagem para grupos, por exemplo, emprega símbolos diferentes de uma linguagem para ordens, corpos ou teorias de conjuntos.
Definição formal
Uma assinatura de primeira ordem é composta por constantes individuais, símbolos de predicado, ou símbolos de relação, e símbolos de função. Cada símbolo de predicado ou de função possui uma aridade, isto é, um número determinado de argumentos. A partir de uma assinatura, obtém-se uma linguagem de primeira ordem ao combinar esses símbolos com os símbolos lógicos, a pontuação formal e as regras de formação de termos e fórmulas.
Do ponto de vista semântico, uma estrutura interpreta os símbolos não lógicos da assinatura. Constantes são interpretadas como elementos do domínio; símbolos de predicado de aridade n são interpretados como relações n-árias sobre o domínio; e símbolos de função de aridade n são interpretados como funções n-árias no domínio. Por isso, o mesmo símbolo não lógico pode receber interpretações diferentes em estruturas distintas.
Exemplo
Considere uma linguagem de primeira ordem cuja assinatura contenha um símbolo de predicado unário R, um símbolo de função unário F, uma relação binária e uma constante . Nessa linguagem, a fórmula
usa R, F, e como símbolos não lógicos. O símbolo R é um predicado unário; F é um símbolo de função unário; é uma relação binária; e é uma constante. Já e pertencem ao aparato lógico da linguagem.
Tecnicamente, F é o símbolo de função, enquanto é um termo formado pela aplicação desse símbolo ao termo . De modo análogo, R é o símbolo de predicado, enquanto é uma fórmula atômica.
Igualdade e pertinência
Na lógica clássica de primeira ordem com identidade, o símbolo é geralmente tratado como símbolo lógico, e não como símbolo não lógico. Nessa apresentação, a igualdade recebe tratamento próprio no sistema dedutivo e na semântica da linguagem. Existem, contudo, variantes formais nas quais a identidade pode ser omitida ou tratada de modo diferente.
O estatuto do símbolo de pertinência depende do enquadramento formal adotado. Na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com escolha, por exemplo, a teoria é formulada em lógica de primeira ordem com igualdade e com um único símbolo de relação binária, , usado para representar a pertinência entre conjuntos. Nesse contexto axiomático, funciona como símbolo específico da assinatura da teoria dos conjuntos.
Em discussões filosóficas sobre a delimitação das noções lógicas, Alfred Tarski propôs analisar a logicidade por meio de critérios de invariância. No artigo póstumo What Are Logical Notions?, Tarski comparou reconstruções da matemática em termos de teoria dos tipos e de teoria dos conjuntos, concluindo que as noções matemáticas são lógicas no enquadramento da teoria dos tipos, mas não no enquadramento conjuntista.
Ver também
Símbolo lógico Constante lógica Teoria dos modelos Teoria dos conjuntos
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