miniaturadaimagem|O matemático e astrônomo francês Pierre Fatou (1878-1929). Em matemática o lema de Fatou é um importante resultado da teoria da medida. Normalmente é demonstrado partindo do teorema da convergência monótona e é aplicado para demonstrar o teorema da convergência dominada.
Enunciado Seja uma seqüência de funções mensuráveis não negativas, então:
Demonstração Defina e .
formam uma seqüência não-decrescente de funções não-negativas e, portanto, pelo teorema da convergência monótona, temos:
Da definição de , temos ainda:
Tomando o ínfimo em , vale:
Passando ao limite em , segue:
Como, temos o resultado:
Corolário Seja uma seqüência de funções mensuráveis não negativas convergindo quase-sempre para uma função , tal que:
então:
Ver também Teorema da convergência monótona Teorema da convergência dominada Convergência quase-sempre
Categoria:Análise real Categoria:Teoria da medida Fatou Fatou