Dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição, chamados de período.João José Luiz Vianna, Elementos de Arithmetica, capítulo IV. Texto disponível no wikisource

Exemplos de dízimas - dízima finita (ou decimal exato).

- dízima infinita (ou decimal não exato).

- dízima infinita (ou decimal não exato).

Período e comprimento de uma dízima periódica infinita O conjunto de números que se repete na parte decimal (após a vírgula) em algum momento é chamado de período. O período de uma dízima pode ser denotado por uma barra acima: .

Neste caso, o período é 629, sendo esse número composto por 3 algarismos (comprimento do período).

Dízima periódica simples

Numa dízima periódica simples, o período aparece imediatamente após a vírgula (a parte decimal do número), pois não há anteperíodo, podendo ou não ter uma parte inteira não nula.

Exemplos: 0,444444… - "4" é o período. 0,5125125125… - "512" é o período. 0,68686868… - "68" é o período. 0,354235423542.. - "3542" é o período. 5,73737373... - "73" é o período.

Dízima periódica composta Na dízima periódica composta, pode haver uma parte inteira e há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entram na composição do período. Esse conjunto de algarismos que aparecem na parte decimal sem participar do período é chamado de anteperíodo.

Exemplos: 0,7888… - "7" é o anteperíodo. 0,58444444… - "58" é o anteperíodo. 0,15262626… - "15" é o anteperíodo. 2,34222222... - "34" é o anteperíodo.

Exemplos e notação A repetição de algarismos geralmente é indicada pelo sinal de reticências ou por uma barra (traço) acima do período.

Fração geratriz de uma dízima periódica Toda dízima periódica representa um número racional, isto é justificado de forma construtiva ao encontrar a fração que dá origem à dízima.

Exemplo 1. Seja a dízima . Observamos a repetição dos algarismos 5 e 3 (período), tomamos então o número para "mover" o anteperíodo (2) para a parte inteira da dízima:

2. Multiplicamos novamente a expressão por um múltiplo de 10, desta vez tomando como referência a quantidade de algarismos que formam o período. No caso, são dois algarismos que formam o período (5 e 3), portanto, multiplicamos a expressão por 100 (a quantidade de zeros equivale à quantidade de algarismos do período):

3. Se subtrairmos de temos:

Portanto,

Este raciocínio dedutivo pode ser aplicado a qualquer dízima periódica para encontrar sua fração geratriz.

Outro método mais elaborado para calcularem-se frações geratrizes é por meio de progressões geométricas e a soma de infinitos termos.

Algoritmo Usual A geratriz de uma dízima periódica simples pode ser encontrada a partir de procedimentos simples seguindo o algoritmo:

Encontre a parte inteira e o período. Escreva uma fração em que o numerador seja um número formado pelos algarismos da parte inteira e do período subtraído da parte inteira e que o denominador tenha o algarismo 9 para cada dígito que compõe o período.

Exemplo:

A parte inteira é 1 e o período é 32, logo, a fração geratriz dessa dízima terá um numerador 132 - 1 e um denominador 99 (o período tem 2 algarismos, portanto, serão dois "noves").

Da mesma forma, geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é composto pela parte inteira, anteperíodo e período subtraído do anteperíodo e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do anteperíodo.

Por exemplo:

Anteperíodo: 14, sendo formado por 2 algarismos, logo, o denominador terá dois "zeros".

Período: 275, sendo formado por 3 algarismos, logo, o numerador terá três "noves".

O numerador será um número formado pelos algarismos da parte inteira (0), anteperíodo (14) e período (275), ou seja, 14275, subtraído do anteperíodo (14). O denominador será 99900, pois o período é composto por 3 algarismos (999) e o anteperíodo é composto por 2 algarismos (00). Dessa forma, . Portanto, a geratriz da dízima 0,14275275... é .

Dízimas periódicas e séries geométricas infinitas Toda dízima periódica pode ser decomposta em infinitas somas, dado que o período se repete infinitamente, por exemplo:

A dízima (que pode ser reescrita na forma ) pode ser decomposta na soma infinita

Essa soma pode ser interpretada como uma série geométrica infinita, cujo primeiro termo é 0,31 e a razão é igual ao inverso de 10 elevado ao número de algarismos do período, que no caso é 2, ou seja, ou .

Assim, podemos representar essa dízima como uma série infinita:Considerando o valor absoluto da razão e que , temos uma série convergente que pode ser calculada pela fórmula da série geométrica infinita :Simplificando essa fração, obtemos a geratriz da dízima:Portanto, .

De modo geral, se temos uma dízima periódica com uma parte inteira , um período composto por algarismos e um anteperíodo composto por algarismos, podemos representar a dízima como uma série infinita:No caso da dízima periódica simples, as variáveis e são nulas, visto que não há anteperíodo. Desta forma, podemos simplificar a fórmula:Exemplo

Seja a dízima periódica composta , podemos escrevê-la como uma série infinita utilizando o recurso acima, em que:

, , , e .

Simplificando:

Como é uma variável indexada que sempre será um número natural após o incremento de uma unidade no somatório, podemos afirmar que a condição será sempre verdadeira e portanto, teremos uma série convergente, o que nos possibilita encontrar a fração geratriz da dízima a partir da fórmula da série geométrica infinita:

Neste caso, , e como o período possui 2 algarismos, .

Portanto, .

Ver também 0,999... Sistema decimal Série geométrica Série (matemática)

Categoria:Aritmética elementar