miniatura|upright=1.8|Gráfico animado da evolução da temperatura em uma placa metálica quadrada, conforme prevista pela equação do calor. A altura e a tonalidade vermelha indicam a temperatura em cada ponto. No estado inicial, uma região uniformemente quente em forma de ferradura, em vermelho, é cercada por uma região uniformemente fria, em amarelo. Com o passar do tempo, o calor se difunde para a região fria.
Em matemática e física, mais especificamente na termodinâmica, a equação do calor é uma equação parabólica em derivadas parciais. Joseph Fourier apresentou sua teoria da propagação do calor em um manuscrito entregue ao Institut de France no fim de 1807 e publicou seu tratamento sistemático no livro Théorie analytique de la chaleur, de 1822. A equação foi desenvolvida para modelar a evolução da temperatura durante a condução térmica. Sua estrutura matemática também é usada em outros processos de difusão e em diferentes áreas da matemática pura e aplicada.
Definição
Dado um subconjunto aberto de e um intervalo aberto de , uma função é uma solução clássica da equação do calor quando possui derivadas espaciais de segunda ordem e uma derivada temporal contínuas e satisfazEvans (2010), p. 44.
em que é um ponto qualquer do domínio. É comum chamar de tempo e de variáveis espaciais, mesmo em situações abstratas nas quais esses termos não têm seu sentido intuitivo. O conjunto das variáveis espaciais costuma ser representado simplesmente por . Para cada valor de , o lado direito da equação é o Laplaciano da função . A equação também pode ser escrita como
Em física e engenharia, especialmente no estudo da difusão através de um meio, costuma-se fixar um sistema de coordenadas cartesiano e considerar uma função com três variáveis espaciais e uma variável de tempo . Nesse caso, satisfaz a equação do calor quando
em que é um coeficiente positivo chamado difusividade térmica do meio. Essa forma modela a condução de calor em um meio homogêneo e isotrópico, com propriedades constantes e sem geração interna de calor. A função fornece a temperatura no ponto no instante .
Em um meio isotrópico não homogêneo, a condutividade e a capacidade térmica volumétrica podem variar com a posição, e a equação precisa conservar sua forma em divergência. Em um meio anisotrópico, a condutividade é expressa por uma matriz, que pode ser constante ou variável. Esses casos não são obtidos, em geral, apenas substituindo por uma função escalar da posição.
Parte da literatura usa para representar o Laplaciano, em lugar de . Também se encontra a notação de Newton para derivadas temporais, na qual representa . Na forma normalizada, a equação pode então ser escrita
O Laplaciano euclidiano é um operador diferencial invariante por translações e rotações. Essa propriedade está por trás de seu uso na modelagem de fenômenos homogêneos e isotrópicos, entre eles a difusão do calor. Sua expressão em coordenadas pode mudar, mas o operador geométrico permanece o mesmo.
Constante de difusividade
A constante de difusividade costuma ser omitida em estudos matemáticos da equação do calor, embora seu valor seja necessário em aplicações de engenharia. Considere uma função tal que
Defina uma nova função . Pela regra da cadeia,
Há uma transformação direta entre soluções da equação do calor para um valor constante positivo de e soluções para . Para a análise matemática, muitas vezes basta estudar esse último caso.
Como , outra possibilidade é definir
obtendo novamente
As transformações reescalam o tempo ou as coordenadas espaciais. Os domínios, as condições iniciais e as condições de contorno precisam ser reescalados da mesma maneira.
Equação do calor não homogênea
A equação do calor não homogênea, na forma normalizada, é
para uma função dada , que pode depender da posição e do tempo. Na interpretação térmica, o termo expressa o efeito de uma fonte ou de um sumidouro de energia sobre a temperatura.
Na forma dimensional,
em que é a potência gerada por unidade de volume, é a densidade e é o calor específico. O termo tem unidades de temperatura por unidade de tempo.
Por exemplo, em um modelo que considere apenas a condução, um aquecedor que forneça uma potência volumétrica constante na região pode ser representado por
em que é a função indicadora de . O termo-fonte na equação para a temperatura é, nesse caso,
Condições iniciais e de contorno
A equação diferencial por si só não determina, em geral, uma única evolução da temperatura. Em um problema dependente do tempo especifica-se uma condição inicial, por exemplo
que fornece a distribuição de temperatura no instante inicial. Quando o domínio possui uma fronteira, também são impostas condições de contorno.
Uma condição de contorno de Dirichlet fixa a temperatura na fronteira, por exemplo para . Uma condição de contorno de Neumann fixa a derivada normal . Para um meio isotrópico de condutividade conhecida, isso equivale a especificar o fluxo térmico normal. Uma fronteira perfeitamente isolada é modelada por . Uma condição de contorno de Robin combina a temperatura com sua derivada normal. Uma forma comum em transferência de calor é , usada para uma superfície que troca calor por convecção com um ambiente à temperatura . Aqui é o coeficiente de transferência de calor por convecção e é a normal unitária que aponta para fora do domínio.
As condições podem variar de uma parte da fronteira para outra, formando problemas com condições mistas. Quando se exige continuidade da solução até a fronteira no instante inicial, os dados iniciais e os valores prescritos na fronteira precisam ser compatíveis.
Equação de estado estacionário
Uma solução da equação
é chamada de solução de estado estacionário quando não varia com o tempo:
Sob condições adequadas de domínio e de contorno, a evolução pode aproximar-se de uma solução estacionária à medida que o tempo aumenta. Uma solução estacionária da equação homogênea satisfaz a equação de Laplace.Evans (2010), seção 2.3.
Para uma fonte independente do tempo, a equação não homogênea
admite uma solução estacionária quando
Nesse caso, obtém-se uma equação de Poisson.
Um gradiente térmico espacial não nulo pode existir no estado estacionário. A temperatura não muda com o tempo, mas pode haver um fluxo contínuo de calor. Por isso, um estado estacionário não é necessariamente um equilíbrio termodinâmico.
A presença de uma fonte permanente também não garante que exista um estado estacionário. Um corpo termicamente isolado com geração líquida positiva de energia continua a acumular energia. Para que a temperatura se estabilize, a geração e a saída de calor precisam ser compatíveis. A formulação estacionária permite estudar esse balanço sem acompanhar a evolução temporal do campo de temperaturas.
Balanço integral
Para uma solução suficientemente regular da equação normalizada
em um domínio fixo com fronteira regular, a integral de satisfaz
pelo teorema da divergência. Na ausência de fontes, uma condição homogênea de Neumann conserva .
Quando representa a temperatura física e as propriedades do material são constantes, a energia térmica correspondente é, a menos da escolha de uma energia de referência,
em que é a capacidade térmica volumétrica. A integral da temperatura e a quantidade física de energia diferem pelo fator .
Interpretação
Informalmente, o operador Laplaciano mede, em uma escala infinitesimal, a diferença entre o valor médio de uma função nas proximidades de um ponto e seu valor nesse ponto. Se representa a temperatura, o sinal de informa se essa média local é maior ou menor que a temperatura do ponto.
A segunda lei da termodinâmica determina o sentido da transferência espontânea de calor, das regiões mais quentes para as mais frias. A relação quantitativa entre o fluxo de calor e o gradiente de temperatura é dada pela lei de Fourier e depende da condutividade térmica do material. Sem mudanças de fase e sob as hipóteses do modelo, a energia recebida ou perdida altera a temperatura de acordo com a capacidade térmica.
A combinação dessas relações leva à interpretação da equação do calor. A taxa com que a temperatura em determinado ponto se altera depende da curvatura espacial do campo de temperaturas. O coeficiente incorpora a condutividade térmica, o calor específico e a densidade do material.
Interpretação da equação
A ideia de média local pode ser escrita matematicamente. Para uma função duas vezes continuamente diferenciável e um ponto fixo,
em que fornece o valor médio de sobre a superfície da esfera de raio centrada em . Para , ela é definida por
e estendida continuamente a . Aqui é a área da esfera unitária no espaço euclidiano de dimensão , e é a medida de superfície. Para pequeno,
Se satisfaz a equação do calor normalizada,
Escolhendo , a média de sobre a pequena esfera centrada em fornece, até primeira ordem em , o valor de . É nesse sentido que a equação impõe uma média infinitesimal da função.
Caráter das soluções
direita|miniatura|Solução de uma equação diferencial parcial do calor em uma dimensão. A temperatura, , distribui-se inicialmente ao longo de um intervalo de comprimento unitário, , com extremidades isoladas. A distribuição aproxima-se do equilíbrio com o passar do tempo.
miniatura|Comportamento da temperatura quando as extremidades de uma barra unidimensional são mantidas a temperaturas fixas, neste caso 0,8 e 0, com uma distribuição gaussiana inicial. A temperatura aproxima-se de uma função linear, que é a solução estacionária desse problema. Onde a temperatura possui uma segunda derivada espacial não nula, a derivada temporal também não é nula.
Para uma solução regular da equação sem fontes, a derivada temporal é não positiva em um máximo local espacial e não negativa em um mínimo local. Isso faz com que os picos tendam a diminuir e as depressões a ser preenchidas. Em um ponto onde , a temperatura não varia naquele instante. Esse é o caso de um campo de temperaturas que seja exatamente afim em uma vizinhança, como . A anulação da derivada em um instante não garante que a temperatura permaneça constante nos instantes seguintes.
O princípio do máximo torna essa observação mais precisa. Para a equação homogênea em um domínio espacial limitado, uma solução contínua até a fronteira não ultrapassa o maior valor dos dados iniciais e dos valores impostos na fronteira espacial até o instante considerado. Na ausência de fontes internas, uma temperatura máxima superior à inicial precisa ser produzida por aquecimento através da fronteira.
Outra propriedade é o efeito de regularização. No modelo de coeficientes constantes, dados iniciais descontínuos podem produzir uma solução infinitamente diferenciável no interior para qualquer tempo positivo. Em um contato térmico ideal entre regiões inicialmente a temperaturas uniformes distintas e , a evolução forma uma distribuição intermediária, sem o salto inicial.
No espaço inteiro, o núcleo do calor é estritamente positivo para todo . Se a distribuição inicial for não negativa, integrável e tiver integral positiva, sua convolução com o núcleo satisfaz para todo assim que . Isso ocorre mesmo quando tem suporte compacto. Essa propriedade dá uma formulação matemática da velocidade infinita de propagação da equação clássica.
Se uma quantidade de energia térmica for aplicada repentinamente em um ponto do meio, ela se espalha em todas as direções segundo uma distribuição difusiva. Diferentemente das ondas mecânicas e das ondas de radiação eletromagnética, a solução da equação clássica do calor não possui uma frente que se propague a velocidade finita. À medida que a distribuição se alarga, os gradientes de temperatura diminuem.
Exemplos específicos
Fluxo de calor em uma barra uniforme
Para o transporte de calor, a equação do calor decorre das leis físicas da condução térmica e da lei da conservação da energia.Cannon (1984).