Em matemática, foram desenvolvidos vários conceitos de conjunto limitado cada um adaptado a seu contexto. A ideia de conjunto limitado está intimamente ligada à ideia de conjunto pré-compacto, ou seja, cujo fecho é compacto. Em espaços métricos completos de dimensão finita, estes conceitos coincidem.
Limitação em Um subconjunto dos números reais é limitado se estiver contido num intervalo fechado limitado, ou seja da forma .
Se um subconjunto de está contido num intervalo da forma diz-se limitado superiormente; se está contido num intervalo da forma diz-se limitado inferiormente.
Definição em um espaço métrico Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.
Definição em um espaço normado As definições são equivalentes, frente à desigualdade triangular: Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito. Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito centrada na origem.
Definição em um espaço linear topológico Um conjunto é dito limitado se para toda vizinhança da origem , existe um escalar tal que:
Propriedades Se e é limitado, é limitado. A união finita de limitados é um conjunto limitado. Todo conjunto pré-compacto é limitado Para provar esta última afirmação em um espaço métrico escreva: , é a bola de centro x e raio n. Da compacidade, pode-se tomar uma sub-cobertura finita: , é a bola de centro x e raio n.
Em espaços lineares topológicos, imite a demonstração substituindo , pot
Conjuntos d-limitados e -limitados Todo espaço métrico possui uma topologia induzida pela métrica. Quando este espaço métrico é também um espaço vetorial, pode acontecer de também ser uma espaço linear topológico. Neste caso, o conceito de conjunto limitado na métrica pode diferir do conceito de limitado na topologia. Usa-se a notação d-limitado e tau-limitado.
Cabe observar que um espaço linear topológico Hausdorff nunca é limitado. Ver também Compacidade Conjunto totalmente limitado Teorema de Heine-Borel, um conjunto é compacto em se e somente se é fechado e limitado.
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