Em Álgebra linear, uma matriz quadrada é dita ortogonal se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta.
Isto é, uma matriz é ortogonal se
Definição Uma matriz é dita ortogonal se: ortogonal se for invertível, isto é: ; (necessário, mas não é suficiente) ortogonal se somente se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta , isto é: (necessário e suficiente)
Exemplos Matriz identidade: ;
Matriz de rotação (anti-horário)
Matriz de reflexão em torno do eixo :
Propriedades
Matrizes ortogonais possuem as seguintes propriedades: Se é uma matriz ortogonal, então .Da definição, tem-se que: , então .
Pelo Teorema de Binet, , então .
No entanto, sabe-se também da definição que implica .
Logo, , de onde aplicando a raiz dos dois lados da equação, obtém-se .
A matriz é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.Seja uma matriz ortogonal, onde indica a i-ésima coluna de .
Como , temos , donde vemos que:
isto é, o conjunto formado pelos vetores coluna é um conjunto ortonormal.
Reciprocamente, se as colunas de formam um conjunto ortonormal de vetores, então vemos por cálculo direto que .
A matriz é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.Segue raciocínio análogo do usado na demonstração da propriedade anterior.
A matriz é ortogonal se, e somente se, sua transposta também é.Segue imediatamente da observação de que: .
Se é uma matriz ortogonal, então é ortogonal se, e somente se, .Por hipótese, . Com isso, temos: . Agora, se, e somente se, . Isso completa a demonstração.
Ver também Matriz ortogonalmente diagonalizável
Bibliografia
Demonstrações
Categoria:Matrizes