Em um anel A, um divisor de zero é um elemento diferente de zero que, multiplicado por um outro elemento também diferente de zero, gera o zero.
Caso não comutativo Em um anel genérico, a multiplicação não é comutativa. Nesse caso, podemos classificar os divisores de zero em: x é um divisor de zero à direita quando x é um divisor de zero à esquerda quando x é um divisor de zero quando x é um divisor de zero à direita e um divisor de zero à esquerda
Exemplos No anel , um elemento m é um divisor de zero se, e somente se, m > 1 e m é um divisor de n. No anel das matrizes n x n (para n > 1) sobre um corpo qualquer, os divisores de zero à esquerda são idênticos aos divisores de zero à direita. O caso acima é um caso particular de uma álgebra associativa que, como espaço vetorial, tem dimensão finita. Neste caso, todo divisor de zero à esquerda é um divisor de zero à direita. O contra-exemplo de uma álgebra associativa em que existem divisores de zero à esquerda que não são divisores de zero à direita pode ser construído assim: Seja S = o espaço vetorial das sequências infinitas de números reais A álgebra L(S, S) dos operadores lineares de S é um anel, com a operação de soma sendo a soma dos operadores lineares, e a multiplicação sendo a composição de funções. Neste anel, destacam-se três operadores: O movimento para a direita R(a1, a2, a3,...) = (0, a1, a2,...) O movimento para a esquerda L(a1, a2, a3,... ) = (a2, a3,...) A projeção na primeira coordenada T(a1, a2, a3,... ) = (a1, 0, 0, ... ). Nenhum deles é zero, e, como LT = TR = 0, vemos que L é um divisor de zero à esquerda, R é um divisor de zero à direita e T é um divisor de zero. Como LR = 1 (o operador identidade), vemos que nem R pode ser um divisor de zero à esquerda, nem L pode ser um divisor de zero à direita: por exemplo, se XL = 0, então XLR = 0 logo X = 0. Estes operadores podem ser interpretados como matrizes infinitas. A matriz
representa L, enquanto que sua transposta B = AT representa R. É fácil ver que AB é a matriz identidade.
Categoria:Álgebra abstrata Categoria:Zero