Em lógica e matemática, uma lógica proposicional, lógica das preposições, ou cálculo sentencial no contexto matemático, é um sistema formal no qual as fórmulas representam proposições que podem ser formadas pela combinação de proposições atômicas usando conectivos lógicos e um sistema de regras de derivação, que permite que certas fórmulas sejam estabelecidas como teoremas do sistema formal.
Em termos gerais, um cálculo é frequentemente apresentado como um sistema formal que consiste em um conjunto de expressões sintáticas (fórmulas bem formadas, ou fbfs), um subconjunto distinto dessas expressões, e um conjunto de regras formais que define uma relação binária específica, que se pretende interpretar como a noção de equivalência lógica, no espaço das expressões.
Quando o sistema formal tem o propósito de ser um sistema lógico, as expressões devem ser interpretadas como asserções matemáticas, e as regras, conhecidas como regras de inferência, normalmente são preservadoras da verdade. Nessa configuração, as regras (que podem incluir axiomas) podem então ser usadas para derivar "inferir" fórmulas representando asserções verdadeiras.
O conjunto de axiomas pode ser vazio, um conjunto finito não vazio, um conjunto finito enumerável, ou pode ser dado por axiomas esquemáticos. Uma gramática formal define recursivamente as expressões e fórmulas bem formadas (fbfs) da linguagem. Além disso, pode se apresentar uma semântica para definir verdade e valorações (ou interpretações).
A linguagem de um cálculo proposicional consiste em: um conjunto de símbolos primitivos, definidos como fórmulas atômicas, proposições atômicas, ou variáveis, e um conjunto de operadores, interpretados como operadores lógicos ou conectivos lógicos.
Uma fórmula bem formada (fbf) é qualquer fórmula atômica ou qualquer fórmula que pode ser construída a partir de fórmulas atômicas, usando conectivos de acordo com as regras da gramática.
O que segue define um cálculo proposicional padrão. Existem muitas formulações diferentes as quais são todas mais ou menos equivalentes mas que diferem nos detalhes: de sua linguagem, que é a coleção particular de símbolos primitivos e operadores, do conjunto de axiomas, ou fórmulas distinguidas, e do conjunto de regras de inferência.
Abstração e aplicações Embora seja possível construir um cálculo abstrato formal que não tem uso prático imediato e praticamente nenhuma aplicação óbvia, o nome cálculo indica que esta espécie de sistema formal tem sua origem na utilidade de seus membros protópicos no cálculo prático. Em geral, qualquer cálculo matemático é criado com a intenção de representar um certo domínio de objetos formais, e tipicamente com o objetivo de facilitar as computações e inferências que precisam ser realizadas sobre esta representação. Assim, antes de se desenvolver o próprio cálculo, deve-se dar uma ideia da sua denotação pretendida, isto é, dos objetivos formais que se pretende denotar com as fórmulas do cálculo.
Visto ao longo de seu desenvolvimento histórico, um cálculo formal para qualquer tópico de estudo normalmente surge através de um processo de abstração gradual, refinamento passo-a-passo, e síntese por tentativa e erro a partir de um conjunto de sistemas notacionais informais prévios, cada um dos quais tratando do mesmo domínio de objetos apenas em parte ou de um ângulo em particular.
Descrição genérica de um cálculo proposicional A lógica proposicional tem como objetivo modelar o raciocínio humano, partindo de frases declarativas (proposições). Para entender melhor o que é uma proposição considere a frase “1 mais 1 é igual a 10” ou simbolicamente, “1 + 1 = 10”. Esta frase é uma proposição no sentido de que ela é uma asserção declarativa, ou seja, afirma ou nega um fato, e tem um valor de verdade, que pode ser verdadeiro ou falso. Neste caso, num sistema de numeração de base 2, a proposição anterior seria verdadeira, enquanto que no sistema decimal seria falsa. Um outro exemplo é a afirmação “hoje é um dia quente” cujo valor de verdade vai depender de vários fatores: o local sobre o qual implicitamente se está falando, os instrumentos de medidas e de comparação (quais os dados estatísticos de temperatura dessa região), e principalmente de quem está avaliando (duas pessoas, mesmo considerando as mesmas condições nos itens anteriores, podem avaliar diferentemente). Ou seja, o valor verdade de uma proposição não é um conceito absoluto, mas depende de um contexto interpretativo. Há inclusive proposições, que mesmo num contexto interpretativo claro e não ambíguo, para as quais não é possível estabelecer de forma inquestionável sua veracidade ou falsidade (pelo menos com o conhecimento atual da humanidade). Mas, em lógica, o importante não é o valor de verdade que uma proposição possa tomar num determinado contexto interpretativo, mas a possibilidade de que “em princípio” seja possível atribuir um valor de verdade, e que seja possível raciocinar com estas proposições.
A lógica proposicional estuda como raciocinar com afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas, ou ainda como construir a partir de um certo conjunto de hipóteses (proposições verdadeiras num determinado contexto) uma demonstração de que uma determinada conclusão é verdadeira no mesmo contexto. Assim, são fundamentais as noções de proposição, verdade, dedução e demonstração. A lógica proposicional clássica é um dos exemplos mais simples de lógica formal. Esta lógica leva em conta, somente, os valores de verdade verdadeiro e falso e a forma das proposições. O estudo detalhado dessa lógica é importante porque ela contém quase todos os conceitos importantes necessários para o estudo de lógicas mais complexas.
Descrição Um cálculo proposicional é um sistema formal cujas fórmulas são construídas da seguinte maneira:
O conjunto alfa é um conjunto finito de elementos chamados símbolos de proposição, ou variáveis proposicionais ou simplesmente átomos. Sintaticamente falando, estes são os elementos mais básicos da linguagem formal também referidos como fórmulas atômicas ou elementos terminais. Nos exemplos a seguir, os elementos de são tipicamente as letras em diante. O conjunto omega é um conjunto finito de elementos chamados símbolos de operadores ou conectivos lógicos. O conjunto é dividido entre os seguintes conjuntos distintos:
Nesta divisão, é o conjunto dos símbolos de aridade Nos cálculos proposicionais mais familiares, é tipicamente particionado em termos de:
Uma opção frequentemente adotada é tratar os valores lógicos constantes como operadores de aridade zero. Assim:
Alguns autores usam o til (~) ao invés de (¬); e alguns usam o (&) ou () ao invés de (∧). A notação varia ainda mais para o conjunto de valores lógicos, com símbolos como {falso, verdadeiro}, {F, V}, ou {0, 1} todos sendo usados em vários contextos ao invés de { }. Dependendo da gramática formal específica que se está usando, auxiliares sintáticos tais como o parêntese esquerdo, “(”, e o parêntese direito, “)”, podem ser necessários para completar a construção das fórmulas.
A linguagem de também conhecida como o seu conjunto de fórmulas, fórmulas bem formadas ou fbfs, é definida recursiva ou indutivamente pelas seguintes regras:
Base. Qualquer elemento do conjunto alpha é fórmula de Passo (a). Se é uma fórmula, então ¬ é uma fórmula. Passo (b). Se e são fórmulas, então ( ∧ ), ( ∨ ), ( → ), e ( ↔ ) são fórmulas. Fechado. Nada mais é uma fórmula de
Aplicações relacionadas dessas regras permitem a construção de fórmulas complexas. Por exemplo:
Pela regra 1, é uma fórmula. Pela regra 2, ¬ é uma fórmula. Pela regra 1, é uma fórmula. Pela regra 3, (¬ ∨ ) é uma fórmula. O conjunto zeta é um conjunto finito de regras de transformação que são conhecidas como regras de inferência do ponto de vista das aplicações lógicas. O conjunto iota é um conjunto finito de pontos iniciais que são chamados de axiomas quando eles recebem interpretações lógicas.
Tabelas Verdade Seja uma linguagem que contenha as proposições e
O que podemos dizer sobre a proposição Para começar, segundo o princípio de bivalência, ela é ou verdadeira ou falsa. Isto representamos assim:
PVF
Agora, o que podemos dizer sobre as proposições e Oras, ou ambas são verdadeiras, ou a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, ou ambas são falsas. Isto representamos assim:
PQVVVFFVFF
Como você já deve ter reparado, uma tabela para e é assim:
PQRVVVVVFVFVVFFFVVFVFFFVFFF
Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as fórmulas) representa uma valoração.
Agora, o que dizer sobre fórmulas moleculares, tais como ou Para estas, podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada fórmula atômica que as compõe. Faremos isto por meio das tabelas de verdade.
Os primeiros passos para construir uma tabela de verdade consistem em: Uma linha em que estão contidas todas as sub-fórmulas de uma fórmula e a própria fórmula. Por exemplo, a fórmula tem o seguinte conjunto de sub-fórmulas: linhas em que estão todos os possíveis valores que as proposições atômicas podem receber e os valores recebidos pelas fórmulas moleculares a partir dos valores destes átomos.
O número de linhas é sendo o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e o número de átomos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos serem falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos os átomos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois átomos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos átomos são falsos (F F F).
Então, para a fórmula temos:
PQRP∧Q(P∧Q) → R¬((P∧Q)→ R)VVVVVVFVVFVFVFFFFVVFFVFFFFVFFFFF
Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos. Ao fazê-lo, vamos aproveitar para explicar como interpretá-los.
Negação A negação tem o valor inverso da fórmula negada. A saber:
P¬ PVFFV
Interpretações: "Não ", "Não é o caso de ", "A proposição '' é falsa".
Assim, em uma linguagem na qual significa "Sócrates é mortal", pode ser interpretada como "Sócrates não é mortal", e, se o primeiro é verdadeiro, o segundo é falso; e se o primeiro é falso, o segundo é verdadeiro.
Interpretar a negação por meio de antônimos também é uma alternativa, mas deve-se ter cautela, pois nem sempre é aplicável em todos os casos. No exemplo acima a interpretação por meio de antônimos é perfeitamente aplicável, ou seja, se significa "Sócrates é mortal", pode ser interpretada como "Sócrates é imortal". Por outro lado, em uma linguagem na qual significa "João é bom jogador", a proposição "João é mau jogador" não é a melhor interpretação para (João poderia ser apenas um jogador mediano).
Pode-se adicionar indefinidamente o operador de negação:
P¬ P¬¬ P¬¬¬ PVFVFFVFV
“ ” significa “ ” é falsa.
“ ” significa “” é falsa.
E assim por diante.
Repare que é equivalente a assim como é equivalente a
A negação múltipla traz alguns problemas de interpretação. Interpretando mais uma vez por "Sócrates é mortal", podemos perfeitamente interpretar de diversar formas: "Não é o caso de que Sócrates não é mortal", "Não é o caso de que Sócrates é imortal", "É falso que Sócrates não é mortal", "É falso que Sócrates é imortal" etc. Contudo, nem sempre na língua portuguesa a dupla negação de uma proposição equivale à afirmação desta. Muitas vezes a dupla negação é apenas uma ênfase na negação. Exemplos: "Não veio ninguém", "Não fiz nada hoje" etc.
Conjunção A conjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ambas são verdadeiras. A saber:
PQP∧QVVVVFFFVFFFF