Em análise funcional, uma álgebra de Banach A é um espaço de Banach e uma álgebra associativa sobre um corpo (normalmente ou ), em que o produto é associativo e a norma satisfaz: , para todo par Essa propriedade garante que a operação multiplicação é contínua. Se existe uma identidade multiplicativa , chamamos de unidade Uma álgebra de Banach é dita unital se se tiver identidade multiplicativa de modo que . Podemos provar se a álgebra de Banach possui unidade, há uma norma equivalente onde ela será unital Dizemos que a álgebra é comutativa se a operação for comutativa Se e é álgebra com a mesma multiplicação de , então dizemos que é subálgebra de Toda álgebra de Banach é isométrica a uma subálgebra de uma álgebra unital de Banach. Isto garante que toda álgebra de Banach pode ser vista como subálgebra de uma que seja Banach e unital Por causa do ultimo item acima é comum presumir que sempre tratamos de uma álgebra de Banach unital. Dizemos que um elemento é inversível se existe de modo que . Uma *-álgebra é uma álgebra de Banach munida de uma involução satisfazendo propriedades da adjunta.
Alguns fatos Toda -álgebra é uma álgebra de Banach, por definição. Em uma álgebra de Banach, o espectro de um elemento é um subconjunto fechado de . A soma direta de álgebras de Banach ainda é uma álgebra de Banach. Toda álgebra de Banach sobre os reais que é também uma álgebra com divisão é isomorfa ou aos reais ou aos complexos ou aos quatérnios. Isso implica que a única álgebra de Banach sobre os complexos que é também álgebra com divisão é os próprio (Teorema de Gelfand–Mazur) Numa álgebra de Banach unital, o conjunto dos elementos invertíveis forma um conjunto aberto (na topologia do espaço topológico induzido pela norma) Numa álgebra de Banach unital sobre os reais ou sobre os complexos, se é elemento da álgebra de modo que , então é inversível
Alguns exemplos O conjunto dos reais (ou dos complexos) forma uma álgebra de Banach com a norma dada pelo módulo O espaço de n-uplas reais (ou complexas ) é uma ágebra de Banach com a norma e o produto termo a termo Os quatérnios são uma álgebra de Banach sobre os reais, com a norma sendo o valor absoluto Os quatérnios não formam uma álgebra de Banach sobre os complexos
Teoria espectral Álgebras unitais sobre os complexos dão um contexto base para a teoria espectral. Dado elemento da álgebra de Banach unital sobre os complexos, definimos o espectro de como . O espectro de um elemento, nestas condições, é compacto e não vazio sempre e satisfaz a formula do raio espectral:
Categoria:Análise funcional