Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. O determinante de uma matriz é denotado por , ou .A notação foi introduzida pela primeira vez por volta de 1841 pelo matemático inglês Arthur Cayley (MacTutor).
Para as matrizes de ordem 1, o valor do determinante é o próprio elemento: .
No caso de matrizes de ordem 2, multiplicam-se os elementos da diagonal principal e diminui-se do resultado a multiplicação dos elementos da diagonal secundária, ou seja:
Para matrizes de ordem 3, pode ser utilizada a Regra de Sarrus, a qual fornece:
De modo geral, para uma matriz de ordem , com , pode-se utilizar de dois outros processos, conhecidos como fórmula de Laplace e fórmula de Leibniz para determinantes.
Geometricamente, o determinante pode ser visto como o fator de escala de volume da transformação linear descrita por uma matriz. Este também é o volume com sinal do paralelepípedo n-dimensional gerado pelos vetores coluna ou linha da matriz. O determinante é positivo ou negativo, dependendo de o mapeamento linear preservar ou reverter a orientação do espaço n-dimensional.
Determinantes aparecem em várias áreas da matemática. Por exemplo, uma matriz é frequentemente usada para representar os coeficientes em um sistema de equações lineares, e o determinante pode ser usado para resolver essas equações no caso de sistemas com o mesmo número de variáveis e de equações (se o determinante da matriz dos coeficientes for um valor diferente de zero, o sistema possui uma única solução; caso o valor do determinante seja zero, o sistema é possível indeterminado ou impossível), embora outros métodos de solução sejam muito mais eficientes em termos computacionais. Ainda na álgebra linear, uma matriz (com entradas em um corpo) é singular (não invertível) se, e somente se, seu determinante for zero. Isso leva ao uso de determinantes na definição do polinômio característico de uma matriz, cujas raízes são os autovalores. Os determinantes também utilizados para cálculos relacionados à independência linear e dão a orientação de uma base em um espaço vetorial.
Na geometria analítica, os determinantes expressam os volumes n-dimensionais com sinal dos paralelepípedos n-dimensionais. Isso leva ao uso de determinantes no cálculo, com o determinante da matriz jacobiana na regra de mudança de variáveis para integrais de funções de várias variáveis. Determinantes aparecem frequentemente em identidades algébricas, como a identidade de Vandermonde. Também aparecem no cálculos de circulantes.
Os determinantes possuem muitas propriedades algébricas. Uma delas é a multiplicatividade, a saber, que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Tipos especiais de matrizes têm determinantes especiais; por exemplo, o determinante de uma matriz ortogonal é sempre , e o determinante de uma matriz hermitiana complexa é sempre real.
Definição Supondo que é uma matriz quadrada com linhas e colunas, ou seja,
o determinante de pode ser indicado por ou diretamente em termos das entradas da matriz, escrevendo-se barras em vez de colchetes:
Existem várias maneiras equivalentes de definir o determinante de . Talvez a maneira mais simples de definir o determinante seja de maneira recursiva considerando os elementos na primeira linha os respectivos menores: começando pela esquerda, multiplica-se o primeiro elemento pelo menor, subtrai-se o produto do próximo elemento e seu menor e segue-se adicionando e subtraindo alternadamente esses produtos até que todos os elementos na linha estejam esgotados. Por exemplo, para o caso de uma matriz de ordem 4:
Assim, para o procedimento acima ser consistente, basta definir o determinante de uma matriz de ordem 1 como a própria entrada da matriz. Para uma matriz de ordem 3, tem-se
O procedimento acima é um caso particular da fórmula (ou teorema) de Laplace. O determinante de uma matriz de tamanho arbitrário também pode ser definido pela fórmula de Leibniz para determinantes. A fórmula de Leibniz para o determinante de uma matriz de ordem é
onde a soma é computada sobre todas as permutações σ do conjunto . A permutação é uma função que reordena esse conjunto de inteiros. O valor da i-ésima posição depois da reordenação é denotado por . Por exemplo, para , a sequência original pode ser reordenada para , com , , . O conjunto de todas essas permutações é denotado por . Para cada permutação , denota o sinal de , que tem valor +1 sempre que a reordenação dada por puder ser alcançada através da troca sucessiva de duas entradas um número par de vezes, e valor -1 sempre que puder ser alcançada por um número ímpar dessas trocas.
Em qualquer um dos termos da soma,
é a notação para o produto das entradas nas posições , onde varia de para :
Por exemplo, para o determinante de uma matriz () tem-se:
História Historicamente , os determinantes eram usados muito antes das matrizes: originalmente, um determinante era definido como uma propriedade de um sistema de equações lineares. O determinante identifica se o sistema possui uma solução exclusiva (que ocorre precisamente se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero).A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory :
Os determinantes foram usados pela primeira vez no livro de matemática chinês Os nove capítulos da arte matemática (estudiosos chineses, por volta do século III a.C.). Na Europa, os determinantes de matriz de ordem 2 foram estudados por Cardano no final do século XVI e os maiores por Leibniz.Campbell, H: "Linear Algebra With Applications", pages 111–112. Appleton Century Crofts, 1971Eves, H: "An Introduction to the History of Mathematics", pages 405, 493–494, Saunders College Publishing, 1990.A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory : Cajori, F. A History of Mathematics p. 80
No Japão, Seki Takakazu é creditado pela descoberta do resultante e do determinante (inicialmente em 1683, mas a versão completa até 1710). Na Europa, Cramer (1750) acrescentou à teoria, relacionando o determinante a conjuntos de equações. A lei de recorrência foi anunciada pela primeira vez por Bézout (1764).History of matrices and determinants: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html
Foi Vandermonde (1771) quem primeiro reconheceu os determinantes em relação a funções independentes. Laplace (1772) desenvolveu o método geral ao expandir um determinante em termos de seus menores complementares, onde Vandermonde já havia apresentado um caso especial. Imediatamente depois, Lagrange (1773) tratou determinantes de segunda e terceira ordem, provando muitos casos especiais de identidades gerais.
Gauss (1801) fez o próximo avanço. Como Lagrange, ele usou muito os determinantes na teoria dos números. Ele introduziu a palavra determinante (Laplace usara resultante), embora não fosse com o significado atual. Gauss também chegou à noção de inverso do determinante e chegou muito perto do teorema da multiplicação.
O próximo colaborador de importância é Binet (1811, 1812), que declarou formalmente o teorema relativo ao produto de duas matrizes de m colunas e n linhas, o que para o caso especial de m = n se reduz ao teorema da multiplicação. No mesmo dia (30 de novembro de 1812) em que Binet apresentou seu trabalho à Academia, Cauchy também apresentou um trabalho sobre o assunto (veja a fórmula de Cauchy-Binet). Neste, inicia-se a teoria em sua generalidade, com o uso da palavra determinante em seu sentido atual,Origins of mathematical terms: http://jeff560.tripod.com/d.html o resumo e a simplificação do que era então conhecido sobre o assunto, a melhora da notação e a apresentação de uma prova mais satisfatória que a realizada por Bineta para o teorema da multiplicação.
A próxima figura importante foi Jacobi (de 1827). Ele usou o determinante funcional, o qual Sylvester mais tarde chamou de jacobiano e, em suas memórias no Crelle's Journal de 1841, tratou especialmente desse determinante funcional. Da mesma forma, tratou sobre a classe de funções alternadas, as quais Sylvester chamou de alternantes. Na época das últimas memórias de Jacobi, Sylvester (1839) e Cayley começaram seus trabalhos.History of matrix notation: http://jeff560.tripod.com/matrices.html
O estudo de formas especiais de determinantes tem sido o resultado natural da complementação da teoria geral. Determinantes axissimétricos foram estudados por Lebesgue, Hesse e Sylvester; determinantes persimétricos por Sylvester e Hankel; circulantes por Catalan, Spottiswoode, Glaisher e Scott; determinantes de inclinação e Pfaffians, em conexão com a teoria da transformação ortogonal, por Cayley; continuantes por Sylvester; wronskianos (assim chamados por Muir) por Christoffel e Frobenius; determinantes compostos por Sylvester, Reiss e Picquet; jacobianos e hessianos por Sylvester; e determinantes simétricos por Trudi. Dos livros didáticos sobre o assunto, Spottiswoode foi o primeiro. Nos Estados Unidos, Hanus (1886), Weld (1893) e Muir/Metzler (1933) publicaram dissertações.
Propriedades O determinante da matriz identidade é igual a :Callioli 1990, p. 205 ; O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: ; Se uma matriz quadrada é invertível então, o determinante da sua inversa é o inverso do seu determinante: Resulta desta propriedade que para matrizes invertíveis o determinante não pode ser nulo; O determinante do produto de matrizes quadradas de mesma ordem é o produto dos determinantes (teorema de Binet)Callioli 1990, p. 219: O determinante da multiplicação de um escalar por uma matriz quadrada de ordem é igual a esse escalar, elevado a , vezes o determinante dessa matriz: onde é a ordem da matriz Se é ortogonal, então ; Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal: Seja uma matriz triangular de ordem então ; Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então ; Se cada elemento de uma linha (ou coluna) de for escrito como soma de duas parcelas; então é a soma de dois determinantes de ordem , cada um considerando como elemento daquela linha (ou coluna) uma das parcelas, sendo repetidas as demais linhas (ou colunas); Se uma fila (linha ou coluna) de uma matriz é multiplicada por um escalar então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de multiplicado por ; Se duas linhas (ou colunas) de são permutadas, então o determinante da nova matriz é ; Se tem duas linhas (ou colunas) iguais, então ; Dadas as matrizes e quadradas, de ordem , com elementos diferentes apenas na fila . O determinante de , matriz quadrada de ordem , onde a sua fila é a soma dos elementos da filas de e de é igual ao determinante de somado ao determinante de (); Se for somado, a uma linha (ou coluna) de , um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de (essa propriedade também é conhecida como Teorema de Jacobi).
Regra de Chiò O teorema de Jacobi (propriedade 14 acima) ajuda na formulação da regra de Chiò, que permite reduzir em um a ordem da matriz e facilitar o cálculo do determinante. A regra consiste em suprimir a primeira linha e a primeira coluna de uma matriz , cujo elemento é igual a e, para cada elemento restante, subtrair o produto dos elementos nas extremidades das linha e coluna suprimidas, ou seja, substituir por: . A nova matriz possui o mesmo determinante que a anterior:
No caso de a matriz não ter , pode-se utilizar as propriedades 10, 11 ou 14 para se obter uma nova matriz cujo elemento da primeira linha e da primeira coluna é .
Complemento de Schur