miniatura|upright=1.35|Neste exemplo, a soma alternada dos ângulos (no sentido horário a partir da parte inferior) é 90° − 45° + 22,5° − 22,5° + 45° − 90° + 22,5° − 22,5° = 0°. Como a soma é igual a zero, o padrão de vincos pode ser dobrado de forma plana. Teorema de Kawasaki ou teorema de Kawasaki–Justin é um teorema da matemática do origami que descreve os padrões de vincos com um único vértice que podem ser dobrados para formar uma figura plana. O teorema afirma que o padrão pode ser dobrado de forma plana se, e somente se, a adição e subtração alternadas dos ângulos de dobras consecutivas ao redor do vértice resultarem em uma soma alternada igual a zero.

Padrões de vincos com mais de um vértice não obedecem a um critério tão simples e são NP-difíceis de dobrar.

O teorema recebeu esse nome em homenagem a um de seus descobridores, Toshikazu Kawasaki. No entanto, várias outras pessoas também contribuíram para sua descoberta, e ele é às vezes chamado de teorema de Kawasaki–Justin ou teorema de Husimi, em homenagem a outros colaboradores, Jacques Justin e Kôdi Husimi.O nome "Yasuji Husimi", que aparece em e às vezes é associado a este teorema, resulta de uma leitura equivocada dos kanji "康治" no nome de Kôdi Husimi.

Enunciado Um padrão de vincos de um único vértice consiste em um conjunto de raios ou vincos traçados em uma folha plana de papel, todos partindo do mesmo ponto no interior da folha. (Esse ponto é chamado de vértice do padrão.) Cada vinco deve ser dobrado, mas o padrão não especifica se as dobras devem ser dobras em montanha ou dobras em vale. O objetivo é determinar se é possível dobrar o papel de modo que todos os vincos sejam dobrados, nenhuma dobra ocorra em outro lugar e toda a folha dobrada fique plana.

Para ser dobrado de forma plana, o número de vincos deve ser par. Isso decorre, por exemplo, do teorema de Maekawa, que afirma que o número de dobras em montanha em um vértice dobrado de forma plana difere do número de dobras em vale em exatamente duas dobras. Portanto, suponha que um padrão de vincos seja constituído por um número par de vincos e que sejam os ângulos consecutivos entre os vincos ao redor do vértice, no sentido horário, começando por qualquer um dos ângulos. Então, o teorema de Kawasaki afirma que o padrão de vincos pode ser dobrado de forma plana se, e somente se, a soma e diferença alternadas dos ângulos for igual a zero:

Uma maneira equivalente de enunciar a mesma condição é dividir os ângulos em dois subconjuntos alternados; nesse caso, a soma dos ângulos de qualquer um dos dois subconjuntos é exatamente 180 graus. No entanto, essa forma equivalente se aplica apenas a um padrão de vincos em uma folha plana de papel, enquanto a forma da soma alternada da condição continua válida para padrões de vincos em folhas cônicas de papel com defeito não nulo no vértice.

Dobradura plana local e global O teorema de Kawasaki, aplicado a cada um dos vértices de um padrão de vincos arbitrário, determina se o padrão de vincos é dobrável de forma plana localmente, ou seja, se a parte do padrão de vincos próxima ao vértice pode ser dobrada de forma plana. No entanto, existem padrões de vincos que são localmente dobráveis de forma plana, mas que não possuem uma dobradura plana global que funcione para todo o padrão de uma só vez. Tom Hull (1994) conjecturou que a dobrabilidade plana global poderia ser testada verificando-se o teorema de Kawasaki em cada vértice de um padrão de vincos e, em seguida, testando-se também a propriedade de ser bipartido de um grafo não direcionado associado ao padrão de vincos. No entanto, essa conjectura foi refutada por , que demonstraram que as condições de Hull não são suficientes. De forma mais contundente, Bern e Hayes demonstraram que o problema de testar a dobrabilidade plana global é NP-completo.

Demonstração Para mostrar que a condição de Kawasaki é necessariamente satisfeita por qualquer figura dobrada de forma plana, basta observar que, a cada dobra, a orientação do papel é invertida. Assim, se o primeiro vinco na figura dobrada de forma plana for colocado no plano paralelo ao eixo , o vinco seguinte deverá ser rotacionado em relação a ele por um ângulo de , e o vinco posterior por um ângulo de (pois o segundo ângulo tem orientação oposta à do primeiro), e assim por diante. Para que o papel volte a se encontrar consigo mesmo no ângulo final, a condição de Kawasaki deve ser satisfeita.

Demonstrar que a condição também é uma condição suficiente consiste em descrever como dobrar um determinado padrão de vincos de modo que ele fique plano. Isso significa determinar quais vincos devem ser feitos em montanha ou em vale e em que ordem as abas de papel devem ser dispostas umas sobre as outras. Uma maneira de fazer isso é escolher um número tal que a soma alternada parcial

seja a menor possível. Ou e a soma parcial é uma soma vazia, que também é igual a zero, ou, para alguma escolha não nula de , a soma parcial é negativa. Em seguida, dobra-se o padrão em sanfona, começando pelo ângulo e alternando entre dobras em montanha e em vale, colocando cada setor angular do papel sob as dobras anteriores. Em cada etapa até a dobra final, uma dobra sanfonada desse tipo nunca produzirá uma auto-interseção. A escolha de garante que o primeiro setor angular se projete à esquerda de todas as outras partes dobradas do papel, permitindo que o setor final se conecte novamente a ele.

Uma demonstração alternativa da suficiência pode ser usada para mostrar que existem muitas dobraduras planas diferentes. Considere o menor ângulo e os dois vincos que estão de cada lado dele. Faça uma dobra em montanha em um desses dois vincos e uma dobra em vale no outro, escolhendo arbitrariamente qual tipo de dobra será usado em cada vinco. Em seguida, una a aba de papel resultante à parte restante do padrão de vincos. O resultado dessa união será um padrão de vincos com dois vincos a menos, em uma folha de papel cônica, que ainda satisfaz a condição de Kawasaki. Portanto, por indução matemática, a repetição desse processo levará eventualmente a uma dobradura plana. O caso base da indução é um cone com apenas dois vincos e dois setores angulares de ângulos iguais, que obviamente pode ser dobrado de forma plana usando uma dobra em montanha nos dois vincos. Há duas maneiras de escolher quais tipos de dobra usar em cada etapa desse método, e cada etapa elimina dois vincos. Portanto, qualquer padrão de vincos com vincos que satisfaça a condição de Kawasaki possui pelo menos escolhas diferentes de dobras em montanha e em vale que levam todas a dobraduras planas válidas.

História No final da década de 1970, Kôdi Husimi e David A. Huffman observaram independentemente que, em figuras dobradas de forma plana com quatro vincos, os ângulos opostos somam 180°, um caso particular do teorema de Kawasaki. Huffman incluiu esse resultado em um artigo de 1976 sobre vincos curvos, enquanto Husimi publicou o teorema dos quatro vincos em um livro sobre geometria do origami escrito com sua esposa, Mitsue Husimi. O mesmo resultado havia sido publicado ainda antes, em um par de artigos de 1966 de S. Murata, que também incluíam o caso de seis vincos e o caso geral do teorema de Maekawa.

O fato de que padrões de vincos com um número arbitrário de vincos necessariamente apresentam somas alternadas dos ângulos iguais a 180° foi descoberto por Kawasaki, por Stuart Robertson e por Jacques Justin, novamente de forma independente entre si, no final da década de 1970 e início da década de 1980. Devido à contribuição de Justin para o problema, o teorema de Kawasaki também é chamado de teorema de Kawasaki–Justin. O fato de que essa condição é suficiente — isto é, que padrões de vincos com um número par de ângulos cuja soma alternada é igual a 180° sempre podem ser dobrados de forma plana — pode ter sido enunciado pela primeira vez por Hull (1994).

O próprio Kawasaki chamou o resultado de teorema de Husimi, em homenagem a Kôdi Husimi, e alguns outros autores também adotaram essa terminologia. O nome "teorema de Kawasaki" foi atribuído pela primeira vez a esse resultado no livro Origami for the Connoisseur, de Kunihiko Kasahara e Toshie Takahama (Japan Publications, 1987).

atribui o limite inferior de para o número de dobraduras planas diferentes de um padrão de vincos que satisfaz as condições do teorema a trabalhos independentes realizados no início da década de 1990 por Azuma, Justin e Ewins e Hull.

Embora o teorema de Kawasaki descreva completamente os padrões de vincos que possuem estados dobrados de forma plana, ele não descreve o processo de dobradura necessário para alcançar esse estado. Para alguns padrões de dobradura (com vários vértices), é necessário curvar ou dobrar o papel durante a transformação de uma folha plana em seu estado dobrado de forma plana, em vez de manter o restante do papel plano e alterar apenas os ângulos diedros em cada dobra. No caso do origami rígido — um tipo de dobradura que mantém a superfície plana, exceto nos vincos, adequado para painéis articulados de material rígido em vez de papel flexível —, a condição do teorema de Kawasaki revela-se suficiente para que um padrão de vincos de um único vértice passe de um estado desdobrado para um estado dobrado de forma plana.

Referências

Ligações externas

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