Em matemática, especialmente em geometria algébrica e na teoria das variedades complexas, os feixes coerentes são uma classe de feixes intimamente ligados às propriedades geométricas do espaço subjacente. A definição de feixes coerentes é feita com referência a um feixe de anéis que codifica essa informação geométrica.
Feixes coerentes podem ser vistos como uma generalização de fibrados vetoriais. Ao contrário dos fibrados vetoriais, eles formam uma categoria abeliana e, portanto, são fechados sob operações como tomar núcleos, imagens e cokernéis. Os feixes quase-coerentes são uma generalização dos feixes coerentes e incluem os feixes localmente livres de posto infinito.
A coomologia de feixes coerentes é uma técnica poderosa, particularmente para estudar as seções de um determinado feixe coerente.
Definições Um feixe quase-coerente em um espaço anelado é um feixe de -módulos que tem uma apresentação local, isto é, todo ponto em tem uma vizinhança aberta na qual existe uma sequência exata
para alguns conjuntos (possivelmente infinitos) e .
Um feixe coerente em um espaço anelado é um feixe de -módulos satisfazendo as seguintes duas propriedades: é de tipo finito sobre , isto é, todo ponto em tem uma vizinhança aberta em tal que existe um morfismo sobrejetor para algum número natural ; para qualquer conjunto aberto , qualquer número natural , e qualquer morfismo de -módulos, o núcleo de é de tipo finito.
Morfismos entre feixes (quase-)coerentes são os mesmos que morfismos de feixes de -módulos.
O caso dos esquemas
Quando é um esquema, as definições gerais acima são equivalentes a outras mais explícitas. Um feixe de -módulos é quase-coerente se e somente se sobre cada subesquema afim aberto a restrição é isomorfa ao feixe associado ao módulo sobre . Quando é um esquema localmente noetheriano, é coerente se e somente se é quase-coerente e os módulos acima podem ser tomados como finitamente gerados.
Em um esquema afim , há uma equivalência de categorias de -módulos para feixes quase-coerentes, levando um módulo ao feixe associado . A equivalência inversa leva um feixe quase-coerente em ao -módulo de seções globais de .
Aqui estão várias outras caracterizações de feixes quase-coerentes em um esquema..
Propriedades Em um espaço anelado arbitrário, feixes quase-coerentes não formam necessariamente uma categoria abeliana. Por outro lado, os feixes quase-coerentes em qualquer esquema formam uma categoria abeliana, e são extremamente úteis nesse contexto..
Em qualquer espaço anelado , os feixes coerentes formam uma categoria abeliana, uma subcategoria plena da categoria de -módulos.. (Analogamente, a categoria de módulos coerentes sobre qualquer anel é uma subcategoria abeliana plena da categoria de todos os -módulos.) Portanto, o núcleo, a imagem e o cokernel de qualquer morfismo de feixes coerentes são coerentes. A soma direta de dois feixes coerentes é coerente; mais geralmente, um -módulo que é uma extensão de dois feixes coerentes é coerente.
Um submódulo de um feixe coerente é coerente se for de tipo finito. Um feixe coerente é sempre um -módulo de apresentação finita, significando que cada ponto em tem uma vizinhança aberta tal que a restrição de a é isomorfa ao cokernel de um morfismo para alguns números naturais e . Se é coerente, então, reciprocamente, todo feixe de apresentação finita sobre é coerente.
O feixe de anéis é chamado coerente se for coerente considerado como um feixe de módulos sobre si mesmo. Em particular, o teorema da coerência de Oka afirma que o feixe de funções holomorfas em um espaço analítico complexo é um feixe coerente de anéis. A parte principal da prova é o caso . Da mesma forma, em um esquema localmente noetheriano , o feixe estrutural é um feixe coerente de anéis.
Construções básicas de feixes coerentes Um -módulo em um espaço anelado é chamado localmente livre de posto finito, ou um fibrado vetorial, se todo ponto em tem uma vizinhança aberta tal que a restrição é isomorfa a uma soma direta finita de cópias de . Se é livre do mesmo posto perto de todo ponto de , então o fibrado vetorial é dito ter posto . Os fibrados vetoriais neste sentido de teoria de feixes sobre um esquema são equivalentes a fibrados vetoriais definidos de uma forma mais geométrica, como um esquema com um morfismo e com uma cobertura de por conjuntos abertos com isomorfismos dados sobre tais que os dois isomorfismos sobre uma interseção diferem por um automorfismo linear. (A equivalência análoga também vale para espaços analíticos complexos.) Por exemplo, dado um fibrado vetorial neste sentido geométrico, o feixe correspondente é definido por: sobre um conjunto aberto de , o -módulo é o conjunto de seções do morfismo . A interpretação em termos de feixes de fibrados vetoriais tem a vantagem de que os fibrados vetoriais (em um esquema localmente noetheriano) estão incluídos na categoria abeliana de feixes coerentes.
Feixes localmente livres vêm equipados com as operações padrão de -módulos, mas estas dão de volta feixes localmente livres.
Seja , um anel noetheriano. Então os fibrados vetoriais em são exatamente os feixes associados a módulos projetivos finitamente gerados sobre , ou (equivalentemente) a módulos planos finitamente gerados sobre .. Seja , um anel graduado noetheriano , um esquema projetivo sobre um anel noetheriano . Então cada -módulo graduado sobre determina um feixe quase-coerente em tal que é o feixe associado ao -módulo , onde é um elemento homogêneo de de grau positivo e é o lugar onde não se anula. Por exemplo, para cada inteiro , seja o -módulo graduado dado por . Então cada determina o feixe quase-coerente em . Se é gerado como -álgebra por , então é um fibrado de linha (feixe invertível) em e é a -ésima potência tensorial de . Em particular, é chamado de fibrado de linha tautológico no -espaço projetivo. Um exemplo simples de um feixe coerente em que não é um fibrado vetorial é dado pelo cokernel na seguinte sequência
isso ocorre porque restrito ao lugar de aniquilamento dos dois polinômios tem fibras bidimensionais, e tem fibras unidimensionais em outros lugares.
Feixes de ideais: Se é um subesquema fechado de um esquema localmente noetheriano , o feixe de todas as funções regulares que se anulam em é coerente. Da mesma forma, se é um subespaço analítico fechado de um espaço analítico complexo , o feixe de ideais é coerente. O feixe estrutural de um subesquema fechado de um esquema localmente noetheriano pode ser visto como um feixe coerente em . Para ser preciso, este é o feixe imagem direta , onde é a inclusão. Da mesma forma para um subespaço analítico fechado de um espaço analítico complexo. O feixe tem fibra (definida abaixo) de dimensão zero nos pontos do conjunto aberto , e fibra de dimensão 1 nos pontos de . Há uma sequência exata curta de feixes coerentes em :
A maioria das operações de álgebra linear preserva feixes coerentes. Em particular, para feixes coerentes e em um espaço anelado , o produto tensorial de feixes e o feixe de homomorfismos são coerentes. Um simples não-exemplo de um feixe quase-coerente é dado pelo funtor extensão por zero. Por exemplo, considere para
Como este feixe tem caules não triviais, mas seções globais nulas, não pode ser um feixe quase-coerente. Isso ocorre porque feixes quase-coerentes em um esquema afim são equivalentes à categoria de módulos sobre o anel subjacente, e a adjunção vem de tomar seções globais.
Funcionalidade Seja um morfismo de espaços anelados (por exemplo, um morfismo de esquemas). Se é um feixe quase-coerente em , então o -módulo imagem inversa (ou pullback) é quase-coerente em .. Para um morfismo de esquemas e um feixe coerente em , o pullback não é coerente em toda generalidade (por exemplo, , que pode não ser coerente), mas pullbacks de feixes coerentes são coerentes se é localmente noetheriano. Um caso especial importante é o pullback de um fibrado vetorial, que é um fibrado vetorial.
Se é um morfismo quase-compacto quase-separado de esquemas e é um feixe quase-coerente em , então o feixe imagem direta (ou pushforward) é quase-coerente em .
A imagem direta de um feixe coerente frequentemente não é coerente. Por exemplo, para um corpo , seja a reta afim sobre , e considere o morfismo ; então a imagem direta é o feixe em associado ao anel de polinômios , que não é coerente porque tem dimensão infinita como um -espaço vetorial. Por outro lado, a imagem direta de um feixe coerente sob um morfismo próprio é coerente, pelos resultados de Grauert e Grothendieck.
Comportamento local de feixes coerentes Uma característica importante dos feixes coerentes é que as propriedades de em um ponto controlam o comportamento de em uma vizinhança de , mais do que seria verdade para um feixe arbitrário. Por exemplo, o lema de Nakayama diz (em linguagem geométrica) que se é um feixe coerente em um esquema , então a fibra de em um ponto (um espaço vetorial sobre o corpo residual ) é zero se e somente se o feixe é zero em alguma vizinhança aberta de . Um fato relacionado é que a dimensão das fibras de um feixe coerente é superiormente semicontínua. Assim, um feixe coerente tem posto constante em um conjunto aberto, enquanto o posto pode saltar em um subconjunto fechado de dimensão inferior.
No mesmo espírito: um feixe coerente em um esquema é um fibrado vetorial se e somente se seu caule é um módulo livre sobre o anel local para todo ponto em .
Em um esquema geral, não se pode determinar se um feixe coerente é um fibrado vetorial apenas por suas fibras (em oposição a seus caules). Em um esquema reduzido localmente noetheriano, no entanto, um feixe coerente é um fibrado vetorial se e somente se seu posto é localmente constante.
Exemplos de fibrados vetoriais Para um morfismo de esquemas , seja o morfismo diagonal, que é uma imersão fechada se é separado sobre . Seja o feixe de ideais de em . Então o feixe de diferenciais pode ser definido como o pullback de para . Seções deste feixe são chamadas de 1-formas em sobre , e podem ser escritas localmente em como somas finitas para funções regulares e . Se é localmente de tipo finito sobre um corpo , então é um feixe coerente em .
Se é suave sobre , então (significando ) é um fibrado vetorial sobre , chamado de fibrado cotangente de . Então o fibrado tangente é definido como o fibrado dual . Para suave sobre de dimensão em toda parte, o fibrado tangente tem posto .
Se é um subesquema fechado suave de um esquema suave sobre , então há uma sequência exata curta de fibrados vetoriais em :
que pode ser usada como uma definição do fibrado normal a em .
Para um esquema suave sobre um corpo e um número natural , o fibrado vetorial de i-formas em é definido como a -ésima potência exterior do fibrado cotangente, . Para uma variedade suave de dimensão sobre , o fibrado canônico significa o fibrado de linha . Assim, seções do fibrado canônico são análogos algébrico-geométricos de formas de volume em . Por exemplo, uma seção do fibrado canônico do espaço afim sobre pode ser escrita como
onde é um polinômio com coeficientes em .
Seja um anel comutativo e um número natural. Para cada inteiro , há um exemplo importante de um fibrado de linha no espaço projetivo sobre , chamado . Para defini-lo, considere o morfismo de -esquemas
dado em coordenadas por . (Isto é, pensando no espaço projetivo como o espaço de subespaços lineares 1-dimensionais do espaço afim, envie um ponto não nulo no espaço afim para a reta que ele gera.) Então uma seção de sobre um subconjunto aberto de é definida como uma função regular em que é homogênea de grau , significando que
como funções regulares em (. Para todos os inteiros e , há um isomorfismo de fibrados de linha em .