miniaturadaimagem|direita|upright=1.2|alt=Pavimentação do plano por triângulos regulares|A pavimentação triangular regular do plano, cujas simetrias são descritas pelo grupo simétrico afim
Os grupos simétricos afins são uma família de estruturas matemáticas que descrevem as simetrias da reta numérica e da pavimentação triangular regular do plano, bem como de objetos relacionados em dimensões superiores. Além dessa descrição geométrica, os grupos simétricos afins podem ser definidos de outras formas: como coleções de permutações dos números inteiros () que são periódicas em certo sentido, ou em termos puramente algébricos, como um grupo com certos geradores e relações. Eles são estudados em combinatória e teoria das representações.
Um grupo simétrico finito consiste em todas as permutações de um conjunto finito. Cada grupo simétrico afim é uma extensão infinita de um grupo simétrico finito. Muitas propriedades combinatórias importantes dos grupos simétricos finitos podem ser estendidas aos grupos simétricos afins correspondentes. Estatísticas de permutação, como descidas e inversões, podem ser definidas no caso afim. Como no caso finito, as definições combinatórias naturais dessas estatísticas também têm uma interpretação geométrica.
Os grupos simétricos afins têm relações estreitas com outros objetos matemáticos, incluindo padrões de malabarismo e certos grupos de reflexão complexos. Muitas de suas propriedades combinatórias e geométricas se estendem à família mais ampla dos grupos de Coxeter afins.
Definições O grupo simétrico afim pode ser definido de modo equivalente como um grupo abstrato por geradores e relações, ou em termos de modelos geométricos e combinatórios concretos.Shi (1986), p. 66.
Definição algébrica miniaturadaimagem|direita|upright=1.2|alt=Diagramas de Dynkin dos grupos simétricos afins|Diagramas de Dynkin dos grupos simétricos afins com dois geradores e com mais de dois geradores.
Uma maneira de definir grupos é por geradores e relações. Nesse tipo de definição, os geradores são um subconjunto de elementos do grupo que, quando combinados, produzem todos os outros elementos. As relações da definição são um sistema de equações que determina quando duas combinações de geradores são iguais.Mais precisamente, toda relação entre geradores pode ser explicada pelas relações dadas, de modo que o grupo é o maior entre todos os grupos cujos geradores satisfazem essas relações. A versão formal dessa definição é dada em termos de quocientes de grupos livres.Gallian (2013), cap. 26. Dessa forma, o grupo simétrico afim é gerado por um conjunto
de elementos que satisfazem as seguintes relações, quando : , isto é, os geradores são involuções; se não é um dos valores , ou , indicando que, para esses pares de geradores, a operação do grupo é comutativa; e .
Nas relações acima, os índices são tomados módulo , de modo que a terceira relação inclui, como caso particular, . A segunda e a terceira relações são às vezes chamadas de relações de trança.Stembridge (1996), p. 355. Quando , o grupo simétrico afim é o grupo diedral infinito gerado por dois elementos e , sujeitos apenas às relações .Björner e Brenti (2005), pp. 5–6.
Essas relações podem ser reescritas na forma especial que define os grupos de Coxeter; portanto, os grupos simétricos afins são grupos de Coxeter, tendo os como seu conjunto de geradores de Coxeter.Björner e Brenti (2005), pp. 5–6. Cada grupo de Coxeter pode ser representado por um diagrama de Coxeter–Dynkin, no qual os vértices correspondem a geradores e as arestas codificam as relações entre eles.Humphreys (1990), p. 31. Para , o diagrama de Coxeter–Dynkin de é o ciclo com vértices: as arestas correspondem às relações entre pares de geradores consecutivos, e a ausência de aresta entre outros pares indica que eles comutam. Para , o diagrama consiste em dois nós unidos por uma aresta rotulada por .Björner e Brenti (2005), p. 2; Björner e Brenti (2005), pp. 5–6.
Definição geométrica miniaturadaimagem|direita|upright=1.2|alt=Plano dividido em triângulos equiláteros|Quando , o espaço é um plano bidimensional e as reflexões ocorrem em retas. Os pontos da rede de raízes estão circulados.
No espaço euclidiano , com coordenadas , o conjunto dos pontos para os quais forma um hiperplano, isto é, um subespaço de dimensão . Para cada par de elementos distintos e de e cada inteiro , o conjunto de pontos de que satisfazem forma um subespaço de dimensão dentro de , e há uma única reflexão de que fixa esse subespaço. Então o grupo simétrico afim pode ser realizado geometricamente como a coleção de aplicações de em si mesmo obtidas por composições dessas reflexões.Humphreys (1990), pp. 87–89, 95–96.
Dentro de , o subconjunto de pontos com coordenadas inteiras forma a rede de raízes, . Trata-se do conjunto de todos os vetores inteiros tais que .Humphreys (1990), p. 41. Cada reflexão preserva essa rede e, portanto, a rede é preservada pelo grupo inteiro.Humphreys (1990), p. 87.
Os subespaços fixos dessas reflexões dividem em símplices congruentes, chamados alcovas.Humphreys (1990), seção 4.3. A situação em que é mostrada na figura; nesse caso, a rede de raízes é uma rede triangular, as retas de reflexão dividem em alcovas que são triângulos equiláteros, e as raízes são os centros de hexágonos não sobrepostos compostos por seis alcovas triangulares.Petersen (2015), cap. 14; Coxeter (1973), cap. 5.
miniaturadaimagem|direita|upright=1.4|alt=Plano dividido em triângulos por três famílias de retas paralelas|Reflexões e alcovas para o grupo simétrico afim. A alcova fundamental está sombreada.
Para traduzir entre as definições geométrica e algébrica, fixa-se uma alcova e consideram-se os hiperplanos que formam sua fronteira. As reflexões nesses hiperplanos de fronteira podem ser identificadas com os geradores de Coxeter. Em particular, há uma única alcova, a alcova fundamental, que consiste nos pontos tais que
limitada pelos hiperplanos , , ..., e . Para , pode-se identificar a reflexão em com o gerador de Coxeter , e também identificar a reflexão em com o gerador .Humphreys (1990), seção 4.3.
Definição combinatória Os elementos do grupo simétrico afim podem ser realizados como um grupo de permutações periódicas dos inteiros. Em particular, diz-se que uma função é uma permutação afim se: é uma bijeção, isto é, cada inteiro aparece como valor de para exatamente um ; para todos os inteiros , isto é, a função é equivariante sob deslocamento por ; e , o -ésimo número triangular.
Para toda permutação afim, e mais geralmente para toda bijeção equivariante por deslocamento, os números devem ser todos distintos módulo . Uma permutação afim é determinada de modo único por sua notação de janela , pois todos os outros valores de podem ser obtidos por deslocamento a partir desses valores. Assim, permutações afins também podem ser identificadas com -uplas de inteiros que contêm um elemento de cada classe de congruência módulo e cuja soma é .Björner e Brenti (2005), cap. 8.3.
Para traduzir entre as definições combinatória e algébrica, para identifica-se o gerador de Coxeter com a permutação afim cuja notação de janela é
e identifica-se o gerador com a permutação afim
Mais geralmente, toda reflexão, isto é, todo conjugado de um dos geradores de Coxeter, pode ser descrita de modo único da seguinte forma: para inteiros distintos e em e um inteiro arbitrário , ela envia para , envia para e fixa todas as entradas que não são congruentes a ou módulo .Björner e Brenti (2005), proposição 8.3.5.
Representação como matrizes miniaturadaimagem|direita|alt=Representação matricial de uma permutação afim|A representação matricial da permutação afim , com a convenção de que os 1 são substituídos por • e os 0 são omitidos.
Permutações afins podem ser representadas por matrizes de permutação infinitas e periódicas.Chmutov, Pylyavskyy e Yudovina (2018), seção 1.6. Se é uma permutação afim, a matriz correspondente tem entrada 1 na posição da grade infinita , para cada inteiro , e todas as outras entradas são iguais a 0. Como é bijetora, a matriz resultante contém exatamente um 1 em cada linha e em cada coluna. A condição de periodicidade de garante que a entrada na posição é igual à entrada na posição para todo par de inteiros .Chmutov, Pylyavskyy e Yudovina (2018), seção 1.6. Por exemplo, uma parte da matriz da permutação afim é mostrada na figura. Na linha 1, há um 1 na coluna 2; na linha 2, há um 1 na coluna 0; e na linha 3 há um 1 na coluna 4. O restante das entradas nessas linhas e colunas é 0, e todas as demais entradas da matriz são determinadas pela condição de periodicidade.
Relação com o grupo simétrico finito O grupo simétrico afim contém o grupo simétrico finito das permutações de elementos tanto como subgrupo quanto como grupo quociente.Lewis, McCammond, Petersen e Schwer (2019). Essas conexões permitem uma tradução direta entre as definições combinatória e geométrica do grupo simétrico afim.
Como subgrupo Há uma maneira canônica de escolher um subgrupo de que seja isomorfo ao grupo simétrico finito . Em termos da definição algébrica, trata-se do subgrupo de gerado por , excluindo a reflexão simples . Geometricamente, isso corresponde ao subgrupo de transformações que fixam a origem; combinatoriamente, corresponde às notações de janela para as quais , isto é, em que a notação de janela é a notação de uma linha de uma permutação finita.Björner e Brenti (2005), p. 260; Kane (2001), seção 11-3.
Se é a notação de janela de um elemento dessa cópia padrão de , sua ação sobre o hiperplano em é dada pela permutação de coordenadas:
Neste artigo, a ação geométrica das permutações e permutações afins é à direita; assim, se e são duas permutações afins, a ação de sobre um ponto é dada primeiro pela aplicação de e depois pela aplicação de .Lewis, McCammond, Petersen e Schwer (2019), p. 4118.
Também há muitas cópias não padrão de contidas em . Uma construção geométrica consiste em escolher qualquer ponto em , isto é, um vetor inteiro cujas coordenadas somam 0; o subgrupo de formado pelas isometrias que fixam é isomorfo a .Lewis, McCammond, Petersen e Schwer (2019), corolário 2.5.
Como quociente Há uma aplicação simples, tecnicamente um homomorfismo de grupos sobrejetivo, , de sobre o grupo simétrico finito . Em termos da definição combinatória, uma permutação afim pode ser enviada a uma permutação finita reduzindo-se as entradas da janela módulo para elementos de , deixando a notação de uma linha de uma permutação.Shi (1986), pp. 85–86. Neste artigo, a imagem de uma permutação afim é chamada de permutação subjacente de .
A aplicação envia o gerador de Coxeter
para a permutação cuja notação de uma linha e notação cíclica são, respectivamente,
e .Petersen (2015), seção 14.4.1; Shi (1986), pp. 85–86.
O núcleo de é, por definição, o conjunto das permutações afins cuja permutação subjacente é a identidade. As notações de janela dessas permutações afins são da forma
em que é um vetor inteiro tal que , isto é, . Geometricamente, esse núcleo consiste nas translações, as isometrias que deslocam todo o espaço sem girá-lo nem refleti-lo.Kane (2001), seção 11-1. Por abuso de notação, o símbolo é usado neste artigo para todos esses três conjuntos: vetores inteiros em , permutações afins cuja permutação subjacente é a identidade, e translações. Nos três contextos, a operação natural de grupo transforma em um grupo abeliano, gerado livremente pelos vetores
Humphreys (1990), seção 2.10.
Conexão entre as definições geométrica e combinatória miniaturadaimagem|direita|upright=1.2|alt=Alcovas rotuladas por permutações afins|Alcovas de rotuladas por permutações afins. Uma alcova recebe a notação de janela de uma permutação se envia a alcova fundamental, sombreada, para .
O grupo simétrico afim tem como subgrupo normal e é isomorfo ao produto semidireto