Em matemática, o espaço projetivo real, denotado por ou é o espaço topológico das retas que passam pela origem 0 no espaço real É uma variedade diferenciável compacta de dimensão e é um caso especial de um espaço de Grassmann.

Propriedades básicas

Construção Como todos os espaços projetivos, é formado tomando o quociente de sob a relação de equivalência para todos os números reais . Para todo em pode-se sempre encontrar um tal que tenha norma 1. Há precisamente dois tais diferindo pelo sinal. Assim, tem a topologia que é obtida identificando pontos antipodais da -esfera unitária, , em .

Alternativamente, pode-se restringir ao hemisfério superior de e meramente identificar pontos antipodais no equador delimitador. Isso mostra que é também topologicamente equivalente ao disco -dimensional fechado, , com pontos antipodais na fronteira, , identificados.

Exemplos de baixa dimensão

é chamado de reta projetiva real, que é topologicamente equivalente a um círculo. Pensando nos pontos de como números complexos de norma unitária a menos de sinal, o difeomorfismo é dado por . Geometricamente, uma reta em é parametrizada por um ângulo e os extremos deste intervalo fechado correspondem à mesma reta. é chamado de plano projetivo real. Este espaço não pode ser imerso ou embarcado em de forma suave sem auto-intersecção (embora possa ser imerso com auto-intersecções, ver superfície de Boy e garrafa de Klein). Pode, no entanto, ser embarcado em e pode ser imerso em (veja aqui). As questões de embarcabilidade e imersibilidade para o espaço projetivo -dimensional têm sido bem estudadas.Ver a tabela de Don Davis para uma bibliografia e lista de resultados.; . é difeomórfico a SO(3), portanto admite uma estrutura de grupo; o mapa de recobrimento é um mapa de grupos Spin(3) → SO(3), onde Spin(3) é um grupo de Lie que é o recobrimento universal de SO(3).

Topologia O mapa antipodal na -esfera (o mapa que envia para ) gera uma Z2 ação de grupo em . Como mencionado acima, o espaço órbita para esta ação é . Esta ação é na verdade uma ação de espaço de recobrimento, dando como um recobrimento duplo de . Uma vez que é simplesmente conexo para , ele também serve como o recobrimento universal nestes casos. Segue-se que o grupo fundamental de é quando . (Quando o grupo fundamental é devido ao homeomorfismo com ). Um gerador para o grupo fundamental é a curva fechada obtida projetando qualquer curva que conecta pontos antipodais em para baixo em .

O espaço projetivo -dimensional é compacto, conexo e tem um grupo fundamental isomorfo ao grupo cíclico de ordem 2: seu espaço de recobrimento universal é dado pelo mapa quociente antipodal da -esfera, um espaço simplesmente conexo. É um recobrimento duplo. O mapa antipodal em tem sinal , portanto, preserva a orientação se e somente se é par. O caráter de orientação é, portanto: o laço não trivial em atua como na orientação, de modo que é orientável se e somente se é par, ou seja, é ímpar.

O espaço projetivo -dimensional é de fato difeomorfo à subvariedade de que consiste em todas as matrizes simétricas de traço 1 que também são transformações lineares idempotentes.

Geometria dos espaços projetivos reais O espaço projetivo real admite uma métrica de curvatura escalar positiva constante, proveniente do recobrimento duplo pela esfera redonda padrão (o mapa antipodal é uma isometria local).

Para a métrica redonda padrão, esta tem curvatura seccional identicamente 1.

Na métrica redonda padrão, a medida do espaço projetivo é exatamente metade da medida da esfera.

Estrutura suave Os espaços projetivos reais são variedades diferenciáveis. Em Sn, em coordenadas homogêneas, (x1, ..., xn+1), considere o subconjunto Ui com xi ≠ 0. Cada Ui é homeomorfo à união disjunta de duas bolas unitárias abertas em Rn que se mapeiam para o mesmo subconjunto de RPn e as funções de transição de coordenadas são suaves. Isso dá a RPn uma estrutura suave.

Estrutura como um complexo CW O espaço projetivo real RPn admite a estrutura de um complexo CW com 1 célula em cada dimensão.

Em coordenadas homogêneas (x1 ... xn+1) em Sn, a vizinhança coordenada U1 = {(x1 ... xn+1) | x1 ≠ 0} pode ser identificada com o interior do n-disco Dn. Quando xi = 0, tem-se RPn−1. Portanto, o esqueleto n−1 de RPn é RPn−1, e o mapa de anexação f : Sn−1 → RPn−1 é o mapa de recobrimento 2-para-1. Pode-se escrever

A indução mostra que RPn é um complexo CW com 1 célula em cada dimensão até n.

As células são células de Schubert, como na variedade de bandeiras. Ou seja, tome uma bandeira completa (digamos a bandeira padrão) 0 = V0 < V1 <...< Vn; então a k-célula fechada são as retas que estão em Vk. Além disso, a k-célula aberta (o interior da k-célula) são as retas em (retas em Vk mas não em Vk−1).

Em coordenadas homogêneas (com respeito à bandeira), as células são

Esta não é uma estrutura CW regular, pois os mapas de anexação são 2-para-1. No entanto, seu recobrimento é uma estrutura CW regular na esfera, com 2 células em cada dimensão; de fato, a estrutura CW regular mínima na esfera.

À luz da estrutura suave, a existência de uma função de Morse mostraria que RPn é um complexo CW. Uma dessas funções é dada, em coordenadas homogêneas, por

Em cada vizinhança Ui, g tem um ponto crítico não degenerado (0, ...,1, ...,0) onde 1 ocorre na i-ésima posição com índice de Morse i. Isso mostra que RPn é um complexo CW com 1 célula em cada dimensão.

Fibrados tautológicos O espaço projetivo real tem um fibrado de linha natural sobre ele, chamado de fibrado tautológico. Mais precisamente, este é chamado de subfibrado tautológico, e há também um fibrado n-dimensional dual chamado de fibrado quociente tautológico.

Topologia algébrica dos espaços projetivos reais

Grupos de homotopia Os grupos de homotopia superiores de RPn são exatamente os grupos de homotopia superiores de Sn, via a sequência exata longa de homotopia associada a uma fibração.

Explícitamente, o fibrado é: Pode-se também escrever isto como ou por analogia com o espaço projetivo complexo.

Os grupos de homotopia são:

Homologia O complexo de cadeias celulares associado à estrutura CW acima tem 1 célula em cada dimensão 0, ..., n. Para cada dimensão k, o mapa de bordo dk : δDk → RPk−1/RPk−2 é o mapa que colapsa o equador em Sk−1 e então identifica pontos antipodais. Em dimensões ímpares (resp. pares), este tem grau 0 (resp. 2):

Assim, a homologia integral é

RPn é orientável se e somente se n é ímpar, como mostra o cálculo de homologia acima.

Espaço projetivo real infinito O espaço projetivo real infinito é construído como o limite direto ou união dos espaços projetivos finitos: Este espaço é o espaço classificante de O(1), o primeiro grupo ortogonal.

O recobrimento duplo deste espaço é a esfera infinita , que é contráctil. O espaço projetivo infinito é, portanto, o espaço de Eilenberg–MacLane K(Z2, 1).

Para cada inteiro não negativo q, o grupo de homologia módulo 2 é .

O seu anel de cohomologia módulo 2 é onde é a primeira classe de Stiefel–Whitney: é a -álgebra livre em , que tem grau 1.

O seu anel de cohomologia com coeficientes é onde tem grau 2. Pode ser deduzido do mapa de cadeias entre complexos de cocadeias celulares com coeficientes e , que produzem um homomorfismo de anéis injetivo em dimensões positivas, com imagem a parte de dimensão par de . Alternativamente, o resultado também pode ser obtido usando o teorema do coeficiente universal.

Aplicações e tópicos avançados O espaço projetivo real tem aplicações em áreas como robótica e planejamento de movimentos. Por exemplo, a complexidade topológica de está relacionada à sua estrutura de recobrimentos e imersões. Além disso, invariantes homológicos do espaço de laços de têm sido estudados em topologia algébrica moderna, fornecendo insights sobre a estrutura de espaços de configuração e teoria de homotopia estável.

Ver também

Espaço projetivo complexo Espaço projetivo quaterniônico Espaço lenticular Plano projetivo real

Bibliografia

Categoria:Geometria Categoria:Variedades algébricas