Em física e matemática, e especialmente em geometria diferencial e teoria de gauge, as equações de Yang–Mills são um sistema de equações diferenciais parciais para uma conexão em um fibrado vetorial ou fibrado principal. Elas surgem na física como as equações de Euler–Lagrange do funcional de ação de Yang–Mills. Também encontraram uso significativo na matemática.
As soluções das equações são chamadas de conexões de Yang–Mills. Em ambientes euclidianos de quatro dimensões, as soluções de ação finita auto-duais ou anti-auto-duais são chamadas de instantons. O espaço de moduli de Yang–Mills foi usado por Simon Donaldson para provar o teorema de Donaldson.
Motivação
Física Em seu artigo fundamental sobre o tópico de teorias de gauge, Robert Mills e Chen-Ning Yang desenvolveram (essencialmente independentes da literatura matemática) a teoria de fibrados principais e conexões para explicar o conceito de simetria de gauge e invariância de gauge como se aplica a teorias físicas. As teorias de gauge que Yang e Mills descobriram, agora chamadas de teorias de Yang–Mills, generalizaram o trabalho clássico de James Maxwell sobre as equações de Maxwell, que havia sido formulado na linguagem de uma teoria de gauge por Wolfgang Pauli e outros.Pauli, W., 1941. Relativistic field theories of elementary particles. Reviews of Modern Physics, 13(3), p.203. A novidade do trabalho de Yang e Mills foi definir teorias de gauge para uma escolha arbitrária de grupo de Lie , chamado de grupo de estrutura (ou em física o grupo de gauge, veja Grupo de gauge (matemática) para mais detalhes). Este grupo poderia ser não-Abeliano em oposição ao caso correspondente ao eletromagnetismo, e a estrutura correta para discutir tais objetos é a teoria de fibrados principais.
Os pontos essenciais do trabalho de Yang e Mills são os seguintes. Assume-se que a descrição fundamental de um modelo físico é através do uso de campos, e deriva-se que sob uma transformação de gauge local (mudança de trivialização local do fibrado principal), esses campos físicos devem se transformar precisamente da maneira que uma conexão (em física, um campo de gauge) em um fibrado principal se transforma. A intensidade do campo de gauge é a curvatura da conexão, e a energia do campo de gauge é dada (a menos de uma constante) pelo funcional de ação de Yang–MillsUhlenbeck & Freed 1984, Equação (5)Naber 11, p. 38 e 48
O princípio da ação estacionária dita que as corretas equações de movimento para esta teoria física devem ser dadas pelas equações de Euler–Lagrange deste funcional, que são as equações de Yang–Mills derivadas abaixo:Naber 11, p. 48 e equação (2.5.17)
Matemática Além das origens físicas da teoria, as equações de Yang–Mills são de importante interesse geométrico. Em geral, não há escolha natural de conexão em um fibrado vetorial ou fibrado principal. No caso especial em que este fibrado é o fibrado tangente de uma variedade Riemanniana, existe tal escolha natural, a conexão de Levi-Civita, mas em geral há um espaço infinito-dimensional de escolhas possíveis. Uma conexão de Yang–Mills fornece algum tipo de escolha natural de uma conexão para um fibrado geral, como descrevemos agora.
Uma conexão é definida por suas formas locais para uma cobertura aberta trivializante para o fibrado . A primeira tentativa de escolher uma conexão canônica poderia ser exigir que essas formas se anulassem. No entanto, isso não é possível a menos que a trivialização seja plana, no sentido de que as funções de transição sejam funções constantes. Nem todo fibrado é plano, então isso não é possível em geral. Em vez disso, pode-se pedir que as formas de conexão locais sejam elas próprias constantes. Em um fibrado principal, a maneira correta de formular esta condição é que a curvatura Naber 11, p. 35 se anule. No entanto, pela teoria de Chern–Weil, se a curvatura se anula (isto é, é uma conexão plana), então o fibrado principal subjacente deve ter classes de Chern triviais, o que é uma obstrução topológica à existência de conexões planas: nem todo fibrado principal pode ter uma conexão plana.
O melhor que se pode esperar é então pedir que, em vez de curvatura nula, o fibrado tenha curvatura tão pequena quanto possível. O funcional de ação de Yang–Mills descrito acima é precisamente (o quadrado da) norma da curvatura, e suas equações de Euler–Lagrange descrevem os pontos críticos deste funcional, sejam os mínimos absolutos ou mínimos locais. Ou seja, as conexões de Yang–Mills são precisamente aquelas que minimizam sua curvatura. Nesse sentido, elas são a escolha natural de conexão em um fibrado principal ou vetorial sobre uma variedade do ponto de vista matemático.
Definição Seja uma variedade compacta, orientável e Riemanniana. As equações de Yang–Mills podem ser formuladas para uma conexão em um fibrado vetorial ou -fibrado principal sobre , para algum grupo de Lie compacto . Aqui, a última convenção é apresentada. Seja um -fibrado principal sobre . Então uma conexão em pode ser especificada por uma forma diferencial com valores em álgebra de Lie no espaço total do fibrado principal. Esta conexão tem uma forma de curvatura , que é uma duas-forma em com valores no fibrado adjunto de . Associada à conexão está uma derivada covariante exterior , definida no fibrado adjunto. Além disso, como é compacto, sua álgebra de Lie compacta associada admite um produto interno invariante sob a representação adjunta.
Como é Riemanniana, há um produto interno no fibrado cotangente e, combinado com o produto interno invariante em , há um produto interno no fibrado de duas-formas com valores em em . Como é orientável, há um produto interno nas seções deste fibrado. Ou seja,
onde dentro da integral o produto interno fibra a fibra está sendo usado, e é a forma de volume Riemanniana de . Usando este produto interno , o operador adjunto formal de é definido por
.
Explicitamente, isso é dado por onde é o operador estrela de Hodge agindo em duas-formas.
Assumindo a configuração acima, as equações de Yang–Mills são um sistema de equações diferenciais parciais (em geral não lineares) dadas porUhlenbeck & Freed 1984, Equação (6)Donaldson & Kronheimer 1990, Equação (2.1.34)
||1
Como a estrela de Hodge é um isomorfismo, pela fórmula explícita para as equações de Yang–Mills podem ser escritas equivalentemente como
||2
Uma conexão satisfazendo () ou () é chamada de conexão de Yang–Mills.
Toda conexão satisfaz automaticamente a identidade de Bianchi ,Donaldson & Kronheimer 1990, Equação (2.1.21) então as conexões de Yang–Mills podem ser vistas como um análogo não linear das formas diferenciais harmônicas, que satisfazem
.
Nesse sentido, a busca por conexões de Yang–Mills pode ser comparada à teoria de Hodge, que busca um representante harmônico na classe de cohomologia de de Rham de uma forma diferencial. A analogia é que uma conexão de Yang–Mills é como um representante harmônico no conjunto de todas as conexões possíveis em um fibrado principal.
Derivação As equações de Yang–Mills são as equações de Euler–Lagrange do funcional de Yang–Mills, definido por
||3
Para derivar as equações do funcional, lembre-se de que o espaço de todas as conexões em é um espaço afim modelado no espaço vetorial . Dada uma pequena deformação de uma conexão neste espaço afim, as curvaturas estão relacionadas porDonaldson & Kronheimer 1990, Equação (2.1.14)
Para determinar os pontos críticos de (), calcule
A conexão é um ponto crítico do funcional de Yang–Mills se e somente se isso se anula para todo , e isso ocorre precisamente quando () é satisfeita.
Espaço de moduli de conexões de Yang–Mills As equações de Yang–Mills são invariantes de gauge. Matematicamente, uma transformação de gauge é um automorfismo do fibrado principal , e como o produto interno em é invariante, o funcional de Yang–Mills satisfaz
e portanto, se satisfaz (), então também satisfaz.
Há um espaço de moduli de conexões de Yang–Mills módulo transformações de gauge. Denote por o grupo de gauge de automorfismos de . O conjunto classifica todas as conexões módulo transformações de gauge, e o espaço de moduli de conexões de Yang–Mills é um subconjunto. Em geral, nem nem são Hausdorff ou uma variedade suave. No entanto, ao restringir a conexões irredutíveis, ou seja, conexões cujo grupo de holonomia é dado por todo , obtêm-se espaços de Hausdorff. O espaço de conexões irredutíveis é denotado por , e assim os espaços de moduli são denotados por e .
Espaços de moduli de conexões de Yang–Mills têm sido intensivamente estudados em circunstâncias específicas. Michael Atiyah e Raoul Bott estudaram as equações de Yang–Mills para fibrados sobre superfícies de Riemann compactas.Atiyah, M. F., & Bott, R. (1983). The Yang–Mills equations over riemann surfaces. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 308(1505), 523–615. Lá, o espaço de moduli obtém uma descrição alternativa como um espaço de moduli de fibrados vetoriais holomorfos. Este é o teorema de Narasimhan–Seshadri, que foi provado nesta forma relacionando conexões de Yang–Mills a fibrados vetoriais holomorfos por Donaldson.Donaldson, S. K. (1983). A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri. Journal of Differential Geometry, 18(2), 269–277. Neste cenário, o espaço de moduli tem a estrutura de uma variedade de Kähler compacta. Os moduli de conexões de Yang–Mills têm sido mais estudados quando a dimensão da variedade base é quatro. Donaldson, S. K., & Kronheimer, P. B. (1990). The geometry of four-manifolds. Oxford University Press.Friedman, R., & Morgan, J. W. (1998). Gauge theory and the topology of four-manifolds (Vol. 4). American Mathematical Soc. Aqui, as equações de Yang–Mills admitem uma simplificação de uma EDP de segunda ordem para uma EDP de primeira ordem, as equações de anti-auto-dualidade.
Equações de anti-auto-dualidade Quando a dimensão da variedade base é quatro, ocorre uma coincidência: o operador estrela de Hodge mapeia duas-formas em duas-formas,
.
O operador estrela de Hodge eleva ao quadrado à identidade neste caso e, portanto, tem autovalores e . Em particular, há uma decomposição
nos autoespaços positivo e negativo de , as duas-formas auto-duais e anti-auto-duais. Se uma conexão em um -fibrado principal sobre uma quatro-variedade satisfaz ou ,Uhlenbeck & Freed 1984, Equação (7)Naber 11, Equações (2.5.19) e (2.5.20) então por (), a conexão é uma conexão de Yang–Mills. Essas conexões são chamadas de conexões auto-duais ou conexões anti-auto-duais, e as equações de auto-dualidade (SD) e anti-auto-dualidade (ASD). Os espaços de conexões auto-duais e anti-auto-duais são denotados por e , e similarmente para e .
O espaço de moduli de conexões ASD, ou instantons, foi mais intensivamente estudado por Donaldson no caso em que e é simplesmente conexo.Donaldson, S. K. (1983). An application of gauge theory to four-dimensional topology. Journal of Differential Geometry, 18(2), 279–315.Donaldson, S. K. (1986). Connections, cohomology and the intersection forms of 4-manifolds. Journal of Differential Geometry, 24(3), 275–341.Donaldson, S. K. (1990). Polynomial invariants for smooth four-manifolds. Topology, 29(3), 257–315. Neste cenário, o -fibrado principal é classificado por sua segunda classe de Chern, .Para uma prova deste fato, veja a postagem https://mathoverflow.net/a/265399. Para várias escolhas de fibrado principal, obtêm-se espaços de moduli com propriedades interessantes. Esses espaços são de Hausdorff, mesmo permitindo conexões redutíveis, e são genericamente suaves. Foi mostrado por Donaldson que a parte suave é orientável. Pelo teorema do índice de Atiyah–Singer, pode-se calcular que a dimensão de , o espaço de moduli de conexões ASD quando , é