A mecânica quântica foi aplicada pela primeira vez à óptica, e à interferência em particular, por Paul Dirac. Richard Feynman, nas suas Lições de Física, usa a notação de Dirac para descrever experiências mentais sobre a interferência de dupla fenda de elétrons. A abordagem de Feynman foi estendida a interferómetros de fendas para iluminação de fóton único, ou iluminação laser de largura de linha estreita, isto é, iluminação por fótons indistinguíveis, por Frank Duarte. O interferómetro de fendas foi aplicado pela primeira vez na geração e medição de padrões de interferência complexos.

Neste artigo, descreve-se a equação interferométrica generalizada de fendas, derivada através da notação de Dirac. Embora originalmente derivada para reproduzir e prever interferogramas de fendas, esta equação também tem aplicações noutras áreas da óptica.

Amplitudes de probabilidade e a equação interferométrica de fendas 600px|thumb|right|Esquema em vista superior do interferómetro de fendas indicando a posição dos planos , e . A matriz de fendas, ou rede de difração, está posicionada em . A distância intra-interferométrica pode atingir várias centenas de metros. TBE é um expansor de feixe telescópico, MPBE é um expansor de feixe de múltiplos prismas

Nesta abordagem, a amplitude de probabilidade para a propagação de um fóton desde uma fonte até um plano de interferência , através de uma matriz de fendas , é dada usando a notação bra-ket de Dirac como

Esta equação representa a amplitude de probabilidade de um fóton se propagar de para através de uma matriz de fendas. Usando uma representação de função de onda para as amplitudes de probabilidade, e definindo as amplitudes de probabilidade como

onde e são os ângulos de fase de incidência e difração, respetivamente. Assim, a amplitude de probabilidade total pode ser reescrita como

onde

e

após alguma álgebra, a probabilidade correspondente torna-se

onde é o número total de fendas na matriz, ou rede de transmissão, e o termo entre parênteses representa a fase que está diretamente relacionada com as diferenças de percurso exatas derivadas da geometria da matriz de fendas (), da distância intra-interferométrica e do plano interferométrico . Na sua versão mais simples, o termo de fase pode ser relacionado com a geometria usando

onde é o número de onda, e e representam as diferenças de percurso exatas. Aqui, a equação interferométrica de Dirac–Duarte (DD) é uma distribuição de probabilidade que está relacionada com a distribuição de intensidade medida experimentalmente. Os cálculos são realizados numericamente.

A equação interferométrica DD aplica-se à propagação de um único fóton, ou à propagação de um conjunto de fótons indistinguíveis, e permite a previsão precisa de padrões interferométricos de fendas medidos, continuamente desde o campo próximo até ao campo distante. Interferogramas gerados com esta equação mostraram-se bem comparáveis com interferogramas medidos tanto para valores pares () como ímpares () de de 2 a 1600.

Aplicações A um nível prático, a equação interferométrica de fendas foi introduzida para aplicações de imagem e é rotineiramente aplicada para prever interferogramas laser de fendas, tanto no campo próximo como no campo distante. Assim, tornou-se uma ferramenta valiosa no alinhamento de interferómetros laser de fendas grandes e muito grandes usados no estudo da turbulência atmosférica e da propagação de caracteres interferométricos para comunicações laser seguras no espaço. Outras aplicações analíticas são descritas abaixo.

170px|thumb|right|Interferograma para fendas com o padrão de difração sobreposto na asa externa direita.

Difração e refração generalizadas A equação interferométrica de fendas foi aplicada para descrever fenómenos clássicos como interferência, difração, refração (lei de Snell) e reflexão, numa abordagem racional e unificada, utilizando princípios da mecânica quântica. Em particular, esta abordagem interferométrica foi usada para derivar equações de refração generalizadas tanto para refração positiva como negativa, fornecendo assim uma ligação clara entre a teoria da difração e a refração generalizada.

A partir do termo de fase da equação interferométrica, pode-se obter a expressão

onde .

Para , esta equação pode ser escrita como

que é a equação da rede de difração generalizada. Aqui, é o ângulo de incidência, é o ângulo de difração, é o comprimento de onda, e é a ordem de difração.

Sob certas condições, , que podem ser obtidas experimentalmente, o termo de fase torna-se

que é a equação de refração generalizada, onde é o ângulo de incidência, e torna-se agora o ângulo de refração.

Equação da largura de linha da cavidade Além disso, a equação interferométrica de fendas foi aplicada para derivar a equação da largura de linha da cavidade aplicável a osciladores dispersivos, tais como os osciladores laser de rede de múltiplos prismas:

Nesta equação, é a divergência do feixe e a dispersão angular intracavidade total é a quantidade entre parênteses.

Imagem por transformada de Fourier Pesquisadores que trabalham em imagem fantasma por transformada de Fourier consideram a equação interferométrica de fendas como uma via para investigar a natureza quântica da imagem fantasma. Além disso, a abordagem interferométrica de fendas é uma das várias abordagens aplicadas para descrever fenómenos ópticos básicos de forma coesa e unificada.

Nota: dadas as várias terminologias em uso, para a interferometria de fendas, deve-se explicitar que a equação interferométrica de fendas se aplica à interferência de duas fendas, interferência de três fendas, interferência de quatro fendas, etc.

Emaranhamento quântico Os princípios de Dirac e a metodologia probabilística usados para derivar a equação interferométrica de fendas também foram usados para derivar a amplitude de probabilidade do emaranhamento quântico de polarização

e as amplitudes de probabilidade correspondentes que descrevem a propagação de múltiplos pares de quanta.

Comparação com métodos clássicos Uma comparação da abordagem de Dirac com métodos clássicos, na realização de cálculos interferométricos, foi feita por Travis S. Taylor et al. Estes autores concluíram que a equação interferométrica, derivada através do formalismo de Dirac, era vantajosa no campo muito próximo.

Algumas diferenças entre a equação interferométrica DD e os formalismos clássicos podem ser resumidas da seguinte forma:

A abordagem clássica de Fresnel é usada para aplicações de campo próximo e a abordagem clássica de Fraunhofer é usada para aplicações de campo distante. Essa divisão não é necessária quando se usa a abordagem interferométrica DD, pois este formalismo se aplica tanto a casos de campo próximo como de campo distante. A abordagem de Fraunhofer funciona para iluminação por onda plana. A abordagem DD funciona tanto para iluminação por onda plana como para padrões de iluminação altamente difrativos. A equação interferométrica DD é de carácter estatístico. Este não é o caso das formulações clássicas.

Até agora, não houve qualquer publicação de comparação com abordagens clássicas mais gerais baseadas no princípio de Huygens–Fresnel ou na fórmula de difração de Kirchhoff.

Ver também Expansor de feixe Notação de Dirac Difração de Fraunhofer (matemática) Comunicação óptica em espaço livre Equação da rede de difração Comunicação laser no espaço Largura de linha do laser Teoria da dispersão de múltiplos prismas Interferómetro de fendas

Referências

Categoria:Equações Categoria:Interferometria Categoria:Mecânica quântica Categoria:Mecânica ondulatória