O teorema adiabático é um conceito em mecânica quântica. Sua forma original, devida a Max Born e Vladimir Fock (1928), foi enunciada como segue:Em termos mais simples, um sistema mecânico-quântico submetido a condições externas que mudam gradualmente adapta sua forma funcional, mas quando submetido a condições que variam rapidamente não há tempo suficiente para que a forma funcional se adapte, de modo que a densidade de probabilidade espacial permanece inalterada.
Pêndulo adiabático
Na Conferência de Solvay de 1911, Einstein deu uma palestra sobre a hipótese quântica, que afirma que para osciladores atômicos. Após a palestra de Einstein, Hendrik Lorentz comentou que, classicamente, se um pêndulo simples é encurtado segurando o fio entre dois dedos e deslizando para baixo, parece que sua energia mudará suavemente à medida que o pêndulo é encurtado. Isso parece mostrar que a hipótese quântica é inválida para sistemas macroscópicos, e se sistemas macroscópicos não seguem a hipótese quântica, então à medida que o sistema macroscópico se torna microscópico, parece que a hipótese quântica seria invalidada. Einstein respondeu que, embora tanto a energia quanto a frequência mudassem, sua razão ainda seria conservada, salvando assim a hipótese quântica.
Antes da conferência, Einstein havia lido um artigo de Paul Ehrenfest sobre a hipótese adiabática.EHRENFEST, P. (1911): ``Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle?'' Annalen der Physik 36, pp. 91–118. Republicado em KLEIN (1959), pp. 185–212. Sabemos que ele o leu porque o mencionou em uma carta a Michele Besso escrita antes da conferência.
Processos diábaticos vs. adiabáticos + Comparação Diabático Adiabático Condições que mudam rapidamente impedem o sistema de adaptar sua configuração durante o processo, portanto a densidade de probabilidade espacial permanece inalterada. Tipicamente não há autoestado do Hamiltoniano final com a mesma forma funcional do estado inicial. O sistema termina em uma combinação linear de estados que somam para reproduzir a densidade de probabilidade inicial. Condições que mudam gradualmente permitem que o sistema adapte sua configuração, portanto a densidade de probabilidade é modificada pelo processo. Se o sistema começa em um autoestado do Hamiltoniano inicial, ele terminará no autoestado correspondente do Hamiltoniano final.
Em um tempo inicial um sistema mecânico-quântico tem uma energia dada pelo Hamiltoniano ; o sistema está em um autoestado de rotulado . Condições variáveis modificam o Hamiltoniano de maneira contínua, resultando em um Hamiltoniano final em algum tempo posterior . O sistema evoluirá de acordo com a equação de Schrödinger dependente do tempo, para alcançar um estado final . O teorema adiabático afirma que a modificação no sistema depende criticamente do tempo durante o qual a modificação ocorre.
Para um processo verdadeiramente adiabático exigimos ; neste caso o estado final será um autoestado do Hamiltoniano final , com uma configuração modificada:
O grau em que uma dada mudança se aproxima de um processo adiabático depende tanto da separação de energia entre e estados adjacentes, quanto da razão entre o intervalo e a escala de tempo característica da evolução de para um Hamiltoniano independente do tempo, , onde é a energia de .
Por outro lado, no limite temos passagem infinitamente rápida, ou diabática; a configuração do estado permanece inalterada:
A chamada "condição de intervalo" incluída na definição original de Born e Fock acima refere-se a um requisito de que o espectro de é discreto e não degenerado, de modo que não haja ambiguidade na ordenação dos estados (pode-se estabelecer facilmente qual autoestado de corresponde a ). Em 1999, J. E. Avron e A. Elgart reformularam o teorema adiabático para adaptá-lo a situações sem intervalo.
Comparação com o conceito adiabático em termodinâmica O termo "adiabático" é tradicionalmente usado em termodinâmica para descrever processos sem troca de calor entre sistema e ambiente (veja processo adiabático), mais precisamente esses processos são geralmente mais rápidos do que a escala de tempo da troca de calor. (Por exemplo, uma onda de pressão é adiabática em relação a uma onda de calor, que não é adiabática.) Adiabático no contexto da termodinâmica é frequentemente usado como sinônimo de processo rápido.
A definição da mecânica clássica e quântica está mais próxima do conceito termodinâmico de um processo quase estático, que são processos que estão quase sempre em equilíbrio (ou seja, que são mais lentos do que as escalas de tempo das interações de troca de energia interna, ou seja, uma onda de calor atmosférica "normal" é quase estática, e uma onda de pressão não é). Adiabático no contexto da mecânica é frequentemente usado como sinônimo de processo lento.
No mundo quântico, adiabático significa, por exemplo, que a escala de tempo das interações elétron-fóton é muito mais rápida ou quase instantânea em relação à escala de tempo média da propagação de elétrons e fótons. Portanto, podemos modelar as interações como um pedaço de propagação contínua de elétrons e fótons (ou seja, estados em equilíbrio) mais um salto quântico entre estados (ou seja, instantâneo).
O teorema adiabático neste contexto heurístico diz essencialmente que saltos quânticos são preferencialmente evitados, e o sistema tenta conservar o estado e os números quânticos.
O conceito quântico-mecânico de adiabático está relacionado ao invariante adiabático, é frequentemente usado na teoria quântica antiga e não tem relação direta com troca de calor.
Sistemas de exemplo
Pêndulo simples Como exemplo, considere um pêndulo oscilando em um plano vertical. Se o suporte for movido, o modo de oscilação do pêndulo mudará. Se o suporte for movido suficientemente lentamente, o movimento do pêndulo em relação ao suporte permanecerá inalterado. Uma mudança gradual nas condições externas permite que o sistema se adapte, de modo que ele retenha seu caráter inicial. O exemplo clássico detalhado está disponível na página Invariante adiabático e aqui.
Oscilador harmônico quântico
thumb|right|300px|Figura 1. Mudança na densidade de probabilidade, , de um oscilador harmônico quântico no estado fundamental, devido a um aumento adiabático na constante elástica.
A natureza clássica de um pêndulo impede uma descrição completa dos efeitos do teorema adiabático. Como um exemplo adicional, considere um oscilador harmônico quântico à medida que a constante elástica aumenta. Classicamente, isso é equivalente a aumentar a rigidez de uma mola; mecanicamente quântica, o efeito é um estreitamento da curva de energia potencial no Hamiltoniano do sistema.
Se é aumentada adiabaticamente então o sistema no tempo estará em um autoestado instantâneo do Hamiltoniano atual , correspondendo ao autoestado inicial de . Para o caso especial de um sistema como o oscilador harmônico quântico descrito por um único número quântico, isso significa que o número quântico permanecerá inalterado. A Figura 1 mostra como um oscilador harmônico, inicialmente em seu estado fundamental, , permanece no estado fundamental à medida que a curva de energia potencial é comprimida; a forma funcional do estado se adaptando às condições que variam lentamente.
Para uma constante elástica aumentada rapidamente, o sistema sofre um processo diabático no qual o sistema não tem tempo para adaptar sua forma funcional às condições variáveis. Embora o estado final deva ser idêntico ao estado inicial para um processo que ocorre em um período de tempo que desaparece, não há autoestado do novo Hamiltoniano, , que se assemelhe ao estado inicial. O estado final é composto por uma superposição linear de muitos autoestados diferentes de que somam para reproduzir a forma do estado inicial.
Cruzamento de curvas evitado
thumb|right|300px|Figura 2. Um cruzamento evitado de níveis de energia em um sistema de dois níveis submetido a um campo magnético externo. Observe as energias dos estados diabáticos, e e os autovalores do Hamiltoniano, dando as energias dos autoestados e (os estados adiabáticos). (Na verdade, e deveriam ser trocados nesta figura.)
Para um exemplo mais amplamente aplicável, considere um átomo de 2 níveis submetido a um campo magnético externo. Os estados, rotulados e usando a notação bra–ket, podem ser pensados como estados de momento angular atômico, cada um com uma geometria particular. Por razões que se tornarão claras, esses estados serão doravante referidos como estados diabáticos. A função de onda do sistema pode ser representada como uma combinação linear dos estados diabáticos:
Com o campo ausente, a separação energética dos estados diabáticos é igual a ; a energia do estado aumenta com o aumento do campo magnético (um estado que busca campo baixo), enquanto a energia do estado diminui com o aumento do campo magnético (um estado que busca campo alto). Assumindo que a dependência do campo magnético é linear, a matriz Hamiltoniana para o sistema com o campo aplicado pode ser escrita
onde é o momento magnético do átomo, assumido como sendo o mesmo para os dois estados diabáticos, e é algum acoplamento independente do tempo entre os dois estados. Os elementos diagonais são as energias dos estados diabáticos ( e ), no entanto, como não é uma matriz diagonal, é claro que esses estados não são autoestados de devido à constante de acoplamento fora da diagonal.
Os autovetores da matriz são os autoestados do sistema, que rotularemos e , com autovalores correspondentes
É importante perceber que os autovalores e são as únicas saídas permitidas para qualquer medição individual da energia do sistema, enquanto as energias diabáticas e correspondem aos valores esperados para a energia do sistema nos estados diabáticos e .
A Figura 2 mostra a dependência das energias diabáticas e adiabáticas com o valor do campo magnético; note que para acoplamento não nulo os autovalores do Hamiltoniano não podem ser degenerados e, portanto, temos um cruzamento evitado. Se um átomo está inicialmente no estado em campo magnético zero (na curva vermelha, na extrema esquerda), um aumento adiabático no campo magnético garantirá que o sistema permaneça em um autoestado do Hamiltoniano durante todo o processo (segue a curva vermelha). Um aumento diabático no campo magnético garantirá que o sistema siga o caminho diabático (a linha pontilhada azul), de modo que o sistema sofra uma transição para o estado . Para taxas de variação finitas do campo magnético haverá uma probabilidade finita de encontrar o sistema em qualquer um dos dois autoestados. Veja abaixo para abordagens para calcular essas probabilidades.
Esses resultados são extremamente importantes em física atômica e molecular para controle da distribuição de estados de energia em uma população de átomos ou moléculas.
Enunciado matemático Sob um Hamiltoniano que muda lentamente com autoestados instantâneos e energias correspondentes , um sistema quântico evolui do estado inicialpara o estado finalonde os coeficientes sofrem a mudança de fase
com a fase dinâmica
e a fase geométrica
Em particular, , então se o sistema começa em um autoestado de , ele permanece em um autoestado de durante a evolução com apenas uma mudança de fase.
Provas Sakurai em Modern Quantum MechanicsEsta prova é parcialmente inspirada em uma dada por Sakurai em Modern Quantum Mechanics. Os autoestados instantâneos e energias , por suposição, satisfazem a equação de Schrödinger independente do tempo
em todos os tempos . Assim, eles constituem uma base que pode ser usada para expandir o estado
em qualquer tempo . A evolução do sistema é governada pela equação de Schrödinger dependente do tempo
onde (veja ). Insira a expansão de , use , diferencie com a regra do produto, tome o produto interno com e use a ortonormalidade dos autoestados para obter