Na matemática, as conjecturas de Weil foram propostas altamente influentes de . Elas levaram a um programa de várias décadas, bem-sucedido, para prová-las, no qual muitos pesquisadores de ponta desenvolveram a estrutura da geometria algébrica moderna e da teoria dos números.

As conjecturas dizem respeito às funções geradoras (conhecidas como funções zeta locais) derivadas da contagem de pontos em variedades algébricas sobre corpos finitos. Uma variedade sobre um corpo finito com elementos tem um número finito de pontos racionais (com coordenadas no corpo original), bem como pontos com coordenadas em qualquer extensão finita do corpo original. A função geradora possui coeficientes derivados dos números de pontos sobre o corpo de extensão com elementos.

Weil conjecturou que tais funções zeta para variedades suaves são funções racionais, satisfazem uma certa equação funcional, e têm seus zeros em lugares restritos. As duas últimas partes foram conscientemente modeladas na função zeta de Riemann, uma espécie de função geradora para números inteiros primos, que obedece a uma equação funcional e (conjecturalmente) tem seus zeros restritos pela hipótese de Riemann. A racionalidade foi provada por , a equação funcional por , e o análogo da hipótese de Riemann por .

Contexto e história O antecedente mais antigo das conjecturas de Weil é de Carl Friedrich Gauss e aparece na seção VII de sua Disquisitiones Arithmeticae , tratando de raízes da unidade e períodos de Gauss. No artigo 358, ele avança a partir dos períodos que constroem torres de extensões quadráticas, para a construção de polígonos regulares; e assume que é um número primo congruente a 1 módulo 3. Então existe um corpo cúbico cíclico dentro do corpo ciclotômico de raízes da unidade de ordem , e uma base integral normal de períodos para os inteiros deste corpo (um caso do teorema de Hilbert–Speiser). Gauss constrói os períodos de ordem 3, correspondendo ao grupo cíclico de resíduos não nulos módulo sob a multiplicação e seu único subgrupo de índice três. Gauss define , e como sendo suas classes laterais. Tomando os períodos (somas de raízes da unidade) correspondentes a essas classes laterais aplicadas a , ele nota que esses períodos têm uma tabela de multiplicação que é acessível ao cálculo. Os produtos são combinações lineares dos períodos, e ele determina os coeficientes. Ele estabelece, por exemplo, como sendo igual ao número de elementos de que estão em e que, após serem incrementados em um, também estão em . Ele prova que este número e outros relacionados são os coeficientes dos produtos dos períodos. Para ver a relação desses conjuntos com as conjecturas de Weil, note que se e estão ambos em , então existem e em tais que e ; consequentemente, . Portanto, está relacionado ao número de soluções para no corpo finito . Os outros coeficientes têm interpretações semelhantes. A determinação de Gauss dos coeficientes dos produtos dos períodos, portanto, conta o número de pontos nestas curvas elípticas, e como subproduto ele prova o análogo da hipótese de Riemann.

As conjecturas de Weil no caso especial de curvas algébricas foram conjecturadas por . O caso de curvas sobre corpos finitos foi provado por Weil, finalizando o projeto iniciado pelo Teorema de Hasse sobre curvas elípticas sobre corpos finitos. O interesse nelas era bastante óbvio dentro da teoria dos números: elas implicavam limites superiores para somas exponenciais, uma preocupação básica na teoria analítica dos números .

O que realmente chamou a atenção, do ponto de vista de outras áreas da matemática, foi a conexão proposta com a topologia algébrica. Dado que os corpos finitos são de natureza discreta, e a topologia fala apenas sobre o contínuo, a formulação detalhada de Weil (baseada no desenvolvimento de alguns exemplos) foi impressionante e inovadora. Sugeriu que a geometria sobre corpos finitos deveria se encaixar em padrões bem conhecidos relacionados aos números de Betti, ao Teorema do ponto fixo de Lefschetz e assim por diante.

A analogia com a topologia sugeriu que uma nova teoria homológica fosse estabelecida para aplicação dentro da geometria algébrica. Isso levou duas décadas (foi um objetivo central do trabalho e da escola de Alexander Grothendieck) construindo a partir das sugestões iniciais de Serre. A parte da racionalidade das conjecturas foi provada primeiro por , usando métodos -ádicos. e seus colaboradores estabeleceram a conjectura da racionalidade, a equação funcional e a ligação com os números de Betti usando as propriedades da cohomologia étale, uma nova teoria de cohomologia desenvolvida por Grothendieck e Michael Artin para atacar as conjecturas de Weil, conforme delineado em . Das quatro conjecturas, o análogo da hipótese de Riemann foi a mais difícil de provar. Motivado pela prova de de um análogo das conjecturas de Weil para variedades de Kähler, Grothendieck imaginou uma prova baseada em suas conjecturas padrão sobre ciclos algébricos . No entanto, as conjecturas padrão de Grothendieck permanecem abertas (exceto pelo teorema de Lefschetz forte, que foi provado por Deligne ao estender seu trabalho sobre as conjecturas de Weil), e o análogo da hipótese de Riemann foi provado por , usando a teoria da cohomologia étale mas contornando o uso de conjecturas padrão por meio de um argumento engenhoso.

encontrou e provou uma generalização das conjecturas de Weil, limitando os pesos do pushforward (imagem direta) de um feixe.

Enunciado das conjecturas de Weil

Suponha que é uma variedade algébrica projetiva não singular de dimensão sobre o corpo com elementos. A função zeta de é, por definição:

onde é o número de pontos de definidos sobre a extensão de grau de .

As conjecturas de Weil afirmam:

1. (Racionalidade) é uma função racional de . Mais precisamente, pode ser escrita como um produto alternado finito

onde cada é um polinômio com coeficientes inteiros. Além disso, , , e para , se fatora sobre como para alguns números . 2. (Equação funcional e dualidade de Poincaré) A função zeta satisfaz

ou de forma equivalente

onde é a característica de Euler de . Em particular, para cada , os números , , ... são iguais aos números , , ... em alguma ordem. 3. (Hipótese de Riemann) para todos os e todos os . Isso implica que todos os zeros de residem na "linha crítica" dos números complexos com parte real . 4. (Números de Betti) Se é uma (boa) "redução módulo " de uma variedade projetiva não singular definida sobre um corpo de números imerso no corpo dos números complexos, então o grau de é o -ésimo número de Betti do espaço dos pontos complexos de .

Exemplos

A reta projetiva O exemplo mais simples (além de um ponto) é tomar como a reta projetiva. O número de pontos de sobre um corpo com elementos é apenas (onde o "" vem do "ponto no infinito"). A função zeta é simplesmente

É fácil verificar todas as partes das conjecturas de Weil diretamente. Por exemplo, a variedade complexa correspondente é a Esfera de Riemann e seus números de Betti iniciais são 1, 0, 1.

Espaço projetivo Não é muito mais difícil fazer para o espaço projetivo de dimensão . O número de pontos de sobre um corpo com elementos é apenas . A função zeta é simplesmente

É novamente fácil verificar todas as partes das conjecturas de Weil diretamente. O (espaço projetivo complexo fornece os números de Betti relevantes, que quase determinam a resposta.)

O número de pontos na reta projetiva e no espaço projetivo são tão fáceis de calcular porque eles podem ser escritos como uniões disjuntas de um número finito de cópias de espaços afins. Também é fácil provar as conjecturas de Weil para outros espaços, como Grassmannianas e variedades de bandeira (flag varieties), que têm a mesma propriedade de "pavimentação".

Curvas elípticas Estas fornecem os primeiros casos não triviais das conjecturas de Weil (provadas por Hasse). Se é uma curva elíptica sobre um corpo finito com elementos, então o número de pontos de definidos sobre o corpo com elementos é , onde e são complexos conjugados com valor absoluto .A função zeta é

Os números de Betti são dados pelo toro, 1,2,1, e o numerador é uma quadrática.

Curvas hiperelípticas

Como exemplo, considere a curva hiperelípticaLMFDB: Genus 2 curve 3125.a.3125.1

que possui gênero e dimensão . Visto primeiramente como uma curva definida sobre os números racionais , esta curva tem boa redução em todos os primos . Então, após a redução módulo , obtém-se uma curva hiperelíptica de gênero 2, com . Tomando como exemplo, os polinômios de Weil , e a função zeta de assumem a forma

Os valores e podem ser determinados contando os números de soluções de sobre e , respectivamente, e adicionando 1 a cada um desses dois números para incluir o ponto no infinito . Esta contagem fornece e . Segue que:Capítulo 6, Teorema 5.1 em

   e

Os zeros de são e (as expansões decimais destas partes real e imaginária são cortadas após a quinta casa decimal) juntamente com seus complexos conjugados e . Assim, na fatoração , temos . Como afirmado na terceira parte (Hipótese de Riemann) das conjecturas de Weil, para .

A variedade projetiva, complexa e não singular que pertence a possui os números de Betti .Capítulo 7, Parágrafo §7B em Conforme descrito na parte quatro das conjecturas de Weil, os números de Betti (definidos topologicamente!) coincidem com os graus dos polinômios de Weil , para todos os primos : .

Superfícies abelianas Uma superfície abeliana é uma variedade abeliana bidimensional. Isto é, são variedades projetivas que também têm a estrutura de um grupo, de uma forma que é compatível com a composição do grupo e com a tomada de inversos. Curvas elípticas representam variedades abelianas unidimensionais. Como um exemplo de uma superfície abeliana definida sobre um corpo finito, considere a variedade Jacobiana da curva de gênero 2LMFDB: Abelian variety isogeny class 2.41.aj_ct over F(41)

que foi introduzida na seção sobre curvas hiperelípticas. A dimensão de é igual ao gênero de , então . Existem inteiros algébricos tais queCapítulo V, Teorema 19.1 em o polinômio possui coeficientes em ; para todos os ; e para . A função zeta de é dada por

onde , , e representa a variável complexa da função zeta. Os polinômios de Weil têm a seguinte forma específica :

para , e

é o mesmo para a curva (ver seção acima) e sua variedade Jacobiana . Isto é, as raízes inversas de são os produtos que consistem em muitas, diferentes raízes inversas de . Portanto, todos os coeficientes dos polinômios podem ser expressos como funções polinomiais dos parâmetros , e que aparecem em Calculando estas funções polinomiais para os coeficientes dos , mostra-se que

O polinômio permite calcular o número de elementos da variedade Jacobiana sobre o corpo finito e de sua extensão de corpo :Capítulo 6, Teorema 5.1 em LMFDB: Abelian variety isogeny class 2.41.aj_ct over F(41)

As inversas dos zeros de de fato possuem o valor absoluto esperado de (Hipótese de Riemann). Além disso, os mapeamentos correlacionam as inversas dos zeros de e as inversas dos zeros de . Uma variedade algébrica projetiva complexa, não singular, com boa redução no primo 41 para deve ter os números de Betti , pois estes são os graus dos polinômios A característica de Euler de é dada pela soma alternada desses graus/números de Betti: .

Ao tomar o logaritmo de

segue-se que

Além dos valores e já conhecidos, pode-se extrair a partir desta série de Taylor todos os outros números , , de elementos racionais sobre da variedade Jacobiana, definida sobre , da curva : por exemplo, e . Ao fazer isto, sempre implica já que, então, é um subgrupo de .

Cohomologia de Weil