Em eletromagnetismo, as equações de Panofsky-Phillips, nomeadas em homenagem a Wolfgang Panofsky e Melba Phillips, fornecem a expressão do campo elétrico E e do campo magnético B gerados por uma distribuição arbitrária de cargas e correntes elétricas no espaço. Trata-se de uma generalização dependente do tempo da lei de Coulomb para o campo elétrico e da lei de Biot-Savart para o campo magnético. Essas equações constituem a solução geral das equações de Maxwell para qualquer distribuição arbitrária de cargas e correntes, levando em conta, em particular, o atraso associado à propagação a velocidade finita dos campos E e B no espaço (estes se propagando à velocidade da luz no vácuo, denotada c).
Essas equações apareceram pela primeira vez em 1962 na segunda edição do livro Classical Electricity and MagnetismWolfgang K. H. Panofsky, Melba Phillips, Classical Electricity And Magnetism, Addison-Wesley (2nd ed., 1962), Section 14.3 : The radiation fields, e observa-se que são equivalentes às equações de Jefimenko (publicadas em 1966), embora suas expressões formais para o campo E sejam diferentesKirk T. McDonald, The Relation Between Expressions for Time-Dependent Electromagnetic Fields Given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips, Princeton University (1996; updated 2018).
As equações
Denotam-se por ρ a densidade volumétrica de carga elétrica em cada ponto de um volume V do espaço, e por J a densidade volumétrica de corrente elétrica.
Se estudarmos os campos E e B gerados em um ponto M por uma distribuição arbitrária de cargas e correntes contidas no volume V, então, denotando por r a distância entre cada ponto fonte e M, e por n o vetor unitário apontando de cada ponto fonte para M, as equações de Panofsky-Phillips fornecem (no ponto M) :
com : , e .
Nessas equações :
é a permissividade do vácuo ( = 8,854 187 82 10-12 F/m) c é a velocidade da luz no vácuo (c = 299 792 458 m/s) é a derivada temporal do vetor densidade de corrente em um ponto
Análise
Quatro conclusões principais podem ser extraídas dessas equaçõesThe Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Chapter 28: Electromagnetic radiation :
Propagação e atraso Se observarmos as diferentes fontes do campo eletromagnético que aparecem nas equações de Panofsky-Phillips (ρ, e ), nota-se que estas são sistematicamente escritas entre colchetes [ ], o que implica que é necessário considerar sempre o seu estado em um instante passado (dito instante retardado) t' = (t - r/c), e não no instante presente t.
Isso traduz o fato de que os campos elétrico e magnético se propagam à velocidade finita c, isto é, 299 792 458 m/s. Existe, portanto, sempre um certo atraso entre uma variação nas fontes e os efeitos que estas podem produzir em outro ponto do espaço. Esse atraso é igual ao tempo de propagação dos campos entre a fonte e o observador, r/c.
Interpretação física de cada termo Três termos aparecem na expressão do campo elétrico E : o primeiro termo está relacionado à posição retardada das cargas elétricas fontes (reconhece-se a lei de Coulomb avaliada no instante retardado t) ; o segundo termo está relacionado à velocidade retardada das cargas fontes. Ele fornece uma correção ao campo coulombiano retardado (primeiro termo), compensando os efeitos de atraso quando as correntes são constantes no tempo ( = 0). Uma das propriedades notáveis desse termo é anular-se quando se tem simultaneamente div(J) = 0 e = 0 (isto é, em regime estacionário) ; o terceiro termo é provocado pela aceleração (no instante retardado) das cargas fontes (podendo ser denominado “campo de aceleração”).
Da mesma forma, para o campo magnético B, identifica-se um primeiro termo ligado à velocidade das cargas fontes (lei de Biot-Savart retardada), e um segundo termo provocado por sua aceleração.
Distinção entre campo próximo e campo irradiado Podemos separar os diferentes termos desses campos em duas categorias: alguns apresentam uma dependência em 1/r², inversamente proporcional ao quadrado da distância (podendo ser qualificados como “campos próximos”, pois são significativos apenas nas proximidades das fontes), enquanto outros apresentam uma dependência em 1/r (são os campos de aceleração, também chamados “campos irradiados”, que se tornam cada vez mais predominantes à medida que a distância aumenta, devido à sua diminuição mais lenta).
Em verde, temos os campos próximos (dependência em 1/r²). Em vermelho, temos os campos irradiados (dependência em 1/r).
Note-se que os campos associados à posição e à velocidade das cargas fontes apresentam dependência em 1/r², enquanto aqueles associados à aceleração apresentam dependência em 1/r.
Na região de campo distante (isto é, quando r >> λ), os termos em 1/r² podem ser considerados desprezíveis em relação aos termos em 1/r, o que permite simplificações no cálculo do campo eletromagnético (ver campo próximo e campo distante). Nesse caso, as expressões dos campos emitidos reduzem-se a :
onde apenas os campos irradiados são mantidos.
Na região de campo próximo (r << λ), os campos podem ser calculados utilizando a aproximação dos regimes quase estacionários. É nessa região que aparecem fenômenos como a indução eletromagnética e a força de Abraham-Lorentz.
Propriedades dos campos irradiados
Os termos “irradiados”, que constituem o radiação eletromagnética, são sempre gerados por variações temporais de corrente, isto é, por cargas aceleradas. Uma carga elétrica que não acelera não produzirá nenhum campo E ou B com dependência em 1/r.
Além disso, a emissão é direcional (ou anisotrópica): a amplitude dos campos emitidos depende da direção de observação (é nula ao longo do eixo de aceleração e máxima no plano perpendicular). Essa propriedade pode ser ilustrada observando os campos emitidos por um dipolo oscilante :
(Um tal dipolo oscilante é incapaz de emitir ou detectar radiação ao longo do seu eixo, enquanto a eficiência é máxima no plano equatorial.)
Note-se também que esses termos são ortogonais a n, o que implica que são sempre transversais à direção de propagação dos campos eletromagnéticos irradiados, como mostrado abaixo :
As equações de Panofsky-Phillips mostram, além disso, que o campo magnético irradiado está relacionado ao campo elétrico irradiado pela relação :
Consequentemente, na região de campo distante (r >> λ), o campo magnético está relacionado ao campo elétrico por :
Tem-se então .
Essas propriedades permitem, por exemplo, explicar a origem da pressão de radiação.
A frequência de oscilação da fonte determina a que domínio do espectro eletromagnético pertence a radiação emitida :
thumb|center|upright=1.5|Espectro eletromagnético
Ligação com os potenciais retardados
O estudo das equações de Maxwell, em particular as de Maxwell-Thomson e Maxwell-Faraday, mostraThe Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Section 18.6: The potentials and the wave equationDavid J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Pearson, 4th ed.), 2013, Section 10.1: The Potential Formulation (utilizando o teorema de Helmholtz-Hodge) que os campos E e B podem ser calculados a partir de potenciais V e A tais que :
Escolhendo a gauge de Lorenz, obtém-se como expressão para esses potenciais retardados :
onde V é o potencial escalar e A o potencial vetor do campo magnético.
Para calcular os campos emitidos por uma carga pontual q, utilizam-se os potenciais de Liénard-Wiechert.
Expressão dos campos próximos e dos campos irradiados a partir dos potenciais
Pode-se decompor o potencial vetor do campo magnético A em uma componente radial An (ao longo de n) e uma componente transversal A :
Se denotarmos por Eprox e Bprox a parte dos campos que decai em 1/r², estes estão relacionados aos potenciais retardados por :
Se denotarmos por Eirr e Birr a parte que decai em 1/r, então :
A componente radial de A está, portanto, associada ao campo próximo, enquanto a componente transversal está associada ao campo irradiado.
Comparação com as equações de Jefimenko
Comparando as equações de Panofsky-Phillips com as de Jefimenko, observa-se que suas expressões são idênticas para o campo magnético B, mas diferem para o campo elétrico E, embora sejam matematicamente equivalentes.
Além disso, a equação de Panofsky-Phillips para E apresenta interesse pedagógico superior, pois evidencia a separação entre campos próximos e irradiados e permite identificar diretamente as propriedades gerais dos campos irradiados, o que não é tão explícito na formulação de Jefimenko.
Por outro lado, a equação de Jefimenko, devido à sua forma mais compacta, é geralmente mais fácil de usar para cálculos explícitos, exceto em casos particulares como o radiação dipolar elétricaR. de Melo e Souza, M. V. Cougo-Pinto, C. Farina, M. Moriconi, Multipole radiation fields from the Jefimenko equation for the magnetic field and the Panofsky-Phillips equation for the electric field, arXiv:0812.4679, 2008.
As equações de Panofsky-Phillips e de Jefimenko apresentam, portanto, interesses complementares.
Complemento
As equações de Panofsky-Phillips permitem determinar a expressão do campo elétrico E e do campo magnético B em qualquer ponto do espaço.
Uma vez conhecidos esses campos, pode-se deduzir a força que atua sobre uma partícula de carga q e velocidade v''' situada no ponto M'', calculando a força de Lorentz :
Notas e referências
Ver também Campo elétrico Campo magnético Lei de Coulomb Lei de Biot-Savart Equações de Maxwell Teorema de Helmholtz-Hodge Potenciais retardados Equações de Jefimenko Radiação eletromagnética Campo próximo e campo distante
Categoria:Eletromagnetismo Categoria:Eletrodinâmica