Na matemática, o produto de Kronecker, por vezes denotado por ⊗, é uma operação em duas matrizes de tamanho arbitrário, resultando numa matriz em blocos. É uma especialização do produto tensorial (que é denotado pelo mesmo símbolo) de vetores para matrizes, e dá a matriz da transformação linear do produto tensorial em relação a uma escolha padrão de base. O produto de Kronecker deve ser distinguido da multiplicação de matrizes usual, que é uma operação inteiramente diferente. O produto de Kronecker também é por vezes chamado de produto direto de matrizes.
O produto de Kronecker tem o nome do matemático alemão Leopold Kronecker (1823–1891), embora haja poucas evidências de que ele tenha sido o primeiro a defini-lo e usá-lo. O produto de Kronecker também já foi chamado de matriz de Zehfuss e produto de Zehfuss, em homenagem a Johann Georg Zehfuss, que em 1858 descreveu esta operação de matriz, mas produto de Kronecker é atualmente o termo mais amplamente usado. A atribuição errônea a Kronecker em vez de a Zehfuss deveu-se a Kurt Hensel.
Definição Se A for uma matriz e B for uma matriz , então o produto de Kronecker é a matriz em blocos :
mais explicitamente:
Usando e para denotar a divisão inteira (truncada) e o resto, respectivamente, e numerando os elementos da matriz a partir de 0, obtém-se
Para a numeração usual começando em 1, obtém-se
Se A e B representam transformações lineares e , respectivamente, então o produto tensorial dos dois mapas é um mapa representado por .
Exemplos
Da mesma forma:
Propriedades Relações com outras operações de matrizes
1. Bilinearidade e associatividade:
O produto de Kronecker é um caso especial do produto tensorial, por isso é bilinear e associativo:
onde A, B e C são matrizes, 0 é uma matriz nula, e k é um escalar.
2. Não comutativo:
Em geral, e são matrizes diferentes. No entanto, e são equivalentes por permutação, o que significa que existem matrizes de permutação P e Q tais que
Se A e B forem quadradas, então e são até semelhantes por permutação, o que significa que podemos tomar .
As matrizes e são matrizes de embaralhamento perfeito (perfect shuffle matrices), chamadas de matriz "comutadora". A matriz de comutação Sp, q pode ser construída tomando fatias da matriz identidade Ir, onde .
A notação de dois pontos do MATLAB é usada aqui para indicar submatrizes, e Ir é a matriz identidade . Se e , então
3. A propriedade do produto misto:
Se A, B, C e D são matrizes de tal tamanho que se pode formar os produtos de matrizes AC e BD, então
Isto é chamado de propriedade do produto misto, porque mistura o produto matricial ordinário com o produto de Kronecker.
Como uma consequência imediata (novamente, tomando e ),
Em particular, usando a propriedade de transposição mostrada abaixo, isto significa que se
e Q e U forem ortogonais (ou unitárias), então A também é ortogonal (resp., unitária).
O produto misto matriz-vetor de Kronecker pode ser escrito como:
onde é o operador de vetorização aplicado a (formado pela reformatação da matriz).
4. Propriedade do comutador:
Se e são matrizes quadradas de dimensão , e e são matrizes quadradas de dimensão , então o comutador é , ou .
5. Produto de Hadamard (multiplicação elemento a elemento):
A propriedade do produto misto também funciona para o produto elemento a elemento. Se A e C são matrizes do mesmo tamanho, B e D são matrizes do mesmo tamanho, então
6. A inversa de um produto de Kronecker:
Segue-se que é invertível se e somente se tanto A quanto B forem invertíveis, neste caso a inversa é dada por
A propriedade do produto invertível também vale para a pseudoinversa de Moore-Penrose, ou seja
Na linguagem da teoria das categorias, a propriedade do produto misto do produto de Kronecker (e do produto tensorial mais geral) mostra que a categoria MatF de matrizes sobre um corpo F, é de fato uma categoria monoidal, cujos objetos são números naturais n, morfismos são matrizes com entradas em F, a composição é dada pela multiplicação de matrizes, setas identidade são simplesmente as matrizes identidades In, e o produto tensorial é dado pelo produto de Kronecker.
MatF é uma categoria esqueleto concreta para a categoria equivalente FinVectF de espaços vetoriais de dimensão finita sobre F, cujos objetos são tais espaços vetoriais de dimensão finita V, as setas são mapas F-lineares , e as setas identidade são os mapas identidade dos espaços. A equivalência de categorias equivale a escolher simultaneamente uma base em cada espaço vetorial de dimensão finita V sobre F; os elementos das matrizes representam estes mapeamentos com respeito às bases escolhidas; e da mesma forma o produto de Kronecker é a representação do produto tensorial nas bases escolhidas.
7. Transposta:
A transposição e a transposição conjugada são distributivas sobre o produto de Kronecker: e
8. Determinante:
Seja A uma matriz e seja B uma matriz . Então
O expoente em |A| é a ordem de B e o expoente em |B| é a ordem de A.
9. Soma de Kronecker e exponenciação:
Se A for , B for , e Ik denotar a matriz identidade então podemos definir o que às vezes é chamado de soma de Kronecker, , por
Isto é diferente da soma direta de duas matrizes. Esta operação está relacionada com o produto tensorial em álgebras de Lie, como detalhado abaixo (#Propriedades abstratas) no ponto "Relação com o produto tensorial abstrato".
Temos a seguinte fórmula para a exponencial de matriz, que é útil nalgumas avaliações numéricas.
As somas de Kronecker aparecem naturalmente em física quando se considera conjuntos de sistemas não interagentes.
Se Hr for o Hamiltoniano do r-ésimo sistema de tal tipo. Então o Hamiltoniano total do conjunto é
10. Vetorização de um produto de Kronecker:
Seja uma matriz e uma matriz . Quando a ordem do produto de Kronecker e da vetorização é invertida, as duas operações podem ser ligadas linearmente através de uma função que envolve a matriz de comutação, . Isto é, e têm a seguinte relação:
Além disso, a relação acima pode ser rearranjada em termos de ou da seguinte forma:
onde
11. Produto externo:
Se e são vetores arbitrários, então o produto externo entre e é definido como . O produto de Kronecker está relacionado ao produto externo por: .
Propriedades abstratas
1. Espectro:
Suponha que A e B são matrizes quadradas de tamanho n e m respectivamente. Sejam λ1, ..., λn os autovalores de A e μ1, ..., μm os de B (listados de acordo com a multiplicidade). Então os autovalores de são
Segue-se que o traço e o determinante de um produto de Kronecker são dados por
2. Valores singulares:
Se A e B são matrizes retangulares, então pode-se considerar sua decomposição em valores singulares. Suponha que A tenha rA valores singulares não nulos, a saber
De forma análoga, denote os valores singulares não nulos de B por
Então o produto de Kronecker tem rArB valores singulares não nulos, a saber
Dado que o posto de uma matriz é igual ao número de valores singulares não nulos, verificamos que
3. Relação com o produto tensorial abstrato:
O produto de Kronecker de matrizes corresponde ao produto tensorial abstrato de mapas lineares. Especificamente, se os espaços vetoriais V, W, X e Y têm as bases e respectivamente, e se as matrizes A e B representam as transformações lineares e , respectivamente, nas bases apropriadas, então a matriz representa o produto tensorial dos dois mapas, em relação à base } de e à base definida de forma análoga de com a propriedade de que , onde i e j são números inteiros no intervalo adequado.
Quando V e W são álgebras de Lie, e e são homomorfismos de álgebra de Lie, a soma de Kronecker de A e B representa os homomorfismos induzidos da álgebra de Lie .
4. Relação a produtos de grafos:
O produto de Kronecker das matrizes de adjacência de dois grafos é a matriz de adjacência do grafo produto tensorial. A soma de Kronecker das matrizes de adjacência de dois grafos é a matriz de adjacência do grafo produto cartesiano.Ver a aparecer como parte de
Equações de matriz O produto de Kronecker pode ser usado para obter uma representação conveniente para algumas equações de matriz. Considere, por exemplo, a equação , onde A, B e C são matrizes dadas e a matriz X é a incógnita. Podemos usar o "truque vec" para reescrever esta equação como
Aqui, vec(X) denota a vetorização da matriz X, formada empilhando as colunas de X num único vetor coluna.
Decorre agora das propriedades do produto de Kronecker que a equação tem uma solução única, se e somente se A e B forem invertíveis .
Se X e C forem ordenadas por linha nos vetores de coluna u e v, respectivamente, então
A razão é que
Aplicações Para um exemplo da aplicação desta fórmula, veja o artigo sobre a equação de Lyapunov. Esta fórmula também é útil para mostrar que a distribuição normal de matriz é um caso especial da distribuição normal multivariada. Esta fórmula também é útil para representar as operações de processamento de imagem 2D na forma matriz-vetor.
Outro exemplo é quando uma matriz pode ser fatorada como um produto de Kronecker, então a multiplicação de matrizes pode ser efetuada mais rapidamente usando a fórmula acima. Isto pode ser aplicado de forma recursiva, tal como na FFT de base 2 e na Transformação rápida de Walsh-Hadamard. Separar uma matriz conhecida no produto de Kronecker de duas matrizes mais pequenas é conhecido como o problema do "produto de Kronecker mais próximo", e pode ser resolvido exatamente através do uso da SVD. Separar uma matriz no produto de Kronecker de mais do que duas matrizes, de uma forma ideal, é um problema difícil e que é tema de investigação contínua; alguns autores abordam o assunto como um problema de decomposição tensorial.
Em combinação com o método dos mínimos quadrados, o produto de Kronecker pode ser usado como uma solução precisa para o problema de calibração mão-olho.
Operações de matrizes relacionadas Duas operações de matrizes relacionadas são os produtos de Tracy-Singh e os produtos de Khatri-Rao, que operam em matrizes em blocos. Seja a matriz A subdividida em blocos Aij e a matriz B subdividida em blocos Bkl, naturalmente com , , e .
Produto de Tracy–Singh O produto de Tracy–Singh é definido como
o que significa que o (ij)-ésimo sub-bloco do produto é a matriz , da qual o (kℓ)-ésimo sub-bloco é igual à matriz . Essencialmente, o produto de Tracy-Singh é o produto de Kronecker par a par para cada par de partições nas duas matrizes.
Por exemplo, se A e B forem matrizes particionadas ex.:
obtemos:
Produto de Khatri–Rao
Produto de bloco de Kronecker Produto de Khatri-Rao por colunas
Produto de divisão de face (Face-splitting product)
Propriedades de produtos mistos
onde denota o produto de divisão de face.
De forma semelhante:
onde e são vetores,
onde e são vetores, e denota o produto de Hadamard.
Da mesma forma:
onde é a convolução de vetor e é a matriz da transformada de Fourier (este resultado é uma evolução das propriedades do count sketch),
onde denota o produto de Khatri-Rao por colunas.
Similarmente:
onde e são vetores.
Ver também Produto de Hadamard (matrizes) Coeficiente de Kronecker
Notas
Referências
Ligações externas
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Categoria:Teoria das matrizes