Em 1893, Giuseppe Lauricella definiu e estudou quatro séries hipergeométricas FA, FB, FC, FD de três variáveis. Elas são :

para |x1| + |x2| + |x3| < 1 e

para |x1| < 1, |x2| < 1, |x3| < 1 e

para |x1|1/2 + |x2|1/2 + |x3|1/2 < 1 e

para |x1| < 1, |x2| < 1, |x3| < 1. Aqui o símbolo de Pochhammer (q)i indica o i-ésimo fatorial crescente de q, ou seja,

onde a segunda igualdade é verdadeira para todo complexo exceto .

Essas funções podem ser estendidas para outros valores das variáveis x1, x2, x3 por meio de continuação analítica.

Lauricella também indicou a existência de outras dez funções hipergeométricas de três variáveis. Estas foram nomeadas FE, FF, ..., FT e estudadas por Shanti Saran em 1954 . Existem, portanto, um total de 14 funções hipergeométricas de Lauricella-Saran.

Generalização para n variáveis

Essas funções podem ser diretamente estendidas para n variáveis. Escreve-se, por exemplo:

onde |x1| + ... + |xn| < 1. Essas séries generalizadas também são, às vezes, referidas como funções de Lauricella.

Quando n = 2, as funções de Lauricella correspondem às séries hipergeométricas de Appell de duas variáveis:

Quando n = 1, todas as quatro funções se reduzem à função hipergeométrica de Gauss:

Representação integral de FD

Em analogia com a função F1 de Appell, a função FD de Lauricella pode ser escrita como uma integral unidimensional do tipo de Euler para qualquer número n de variáveis:

Essa representação pode ser facilmente verificada por meio da expansão de Taylor do integrando, seguida de integração termo a termo. A representação implica que a integral elíptica incompleta Π é um caso especial da função FD de Lauricella com três variáveis:

Soluções de soma finita de FD

Caso 1: , é um inteiro positivo

Pode-se relacionar FD à função Carlson R por meio de

com a soma iterativa

e

onde se pode explorar o fato de que a função Carlson R com tem uma representação exata (veja para mais informações).

Os vetores são definidos como

onde o comprimento de e é , enquanto os vetores e têm comprimento .

Caso 2: , é um inteiro positivo

Neste caso, há também uma forma analítica conhecida, mas é bastante complicada de escrever e envolve várias etapas. Veja para mais informações.

Referências

Ligações externas (veja p. 114)

(corrigenda 1956 em Ganita 7, p. 65) (há uma edição em brochura de 2008 com ) (há outra edição com )

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