Na matemática, o teorema de Neukirch-Uchida mostra que todos os problemas sobre corpos de números algébricos podem ser reduzidos a problemas sobre os seus grupos de Galois absolutos.
Jürgen Neukirch (1969) mostrou que dois corpos de números algébricos com o mesmo grupo de Galois absoluto são isomorfos, e Kôji Uchida (1976) fortaleceu este resultado ao provar a conjectura de Neukirch de que os automorfismos do corpo de números algébricos correspondem a automorfismos externos do seu grupo de Galois absoluto. Florian Pop (1990, 1994) estendeu o resultado para corpos infinitos que são finitamente gerados sobre corpos primos.
O teorema de Neukirch-Uchida é um dos resultados fundamentais da geometria anabeliana, cujo tema principal é reduzir propriedades de objetos geométricos a propriedades dos seus grupos fundamentais, desde que esses grupos fundamentais sejam suficientemente não abelianos.
Enunciado Sejam , dois corpos de números algébricos. O teorema de Neukirch-Uchida afirma que, para todo o isomorfismo de grupos topológicos
dos grupos de Galois absolutos, existe um único isomorfismo de corpos tal que
e
para todo o . O diagrama seguinte ilustra esta condição:
Em particular, para corpos de números algébricos , , as duas condições seguintes são equivalentes:
Referências