Na análise matemática e nas suas aplicações, uma função de várias variáveis reais ou função multivariável real é uma função com mais de um argumento, sendo todos os argumentos variáveis reais. Este conceito estende a ideia de uma função de uma variável real para várias variáveis. As variáveis de "entrada" assumem valores reais, enquanto a "saída", também chamada de "valor da função", pode ser real ou complexa. No entanto, o estudo das funções de valor complexo pode ser facilmente reduzido ao estudo das funções de valor real, considerando as partes real e imaginária da função complexa; portanto, a menos que especificado explicitamente, apenas funções de valor real serão consideradas neste artigo.Stewart, James (2015). Calculus: Early Transcendentals (8ª ed.). Boston: Cengage Learning. Capítulo 14 – Functions of Several Variables. ISBN 978-1285740621.Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3ª ed.). New York: McGraw-Hill. Capítulo 9 – Functions of Several Variables. ISBN 978-0070542358.Spivak, Michael (2008). Calculus (4ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. Capítulo 12 – Functions of Several Variables. ISBN 978-0914098911.Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (2ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. Capítulo 12 – Functions of Several Variables. ISBN 978-0201002881.

O domínio de uma função de variáveis é o subconjunto de para o qual a função está definida. Como de costume, supõe-se que o domínio de uma função de várias variáveis reais contenha um subconjunto aberto não vazio de .

Definição geral

Uma função de valor real de variáveis reais é uma função que recebe como entrada números reais, comumente representados pelas variáveis , para produzir outro número real, o valor da função, comumente denotado por . Por simplicidade, neste artigo, uma função de valor real de várias variáveis reais será simplesmente chamada de função. Para evitar qualquer ambiguidade, os outros tipos de funções que podem ocorrer serão explicitamente especificados.Stewart, James (2015). Calculus: Early Transcendentals (8ª ed.). Boston: Cengage Learning. Capítulo 14 – Functions of Several Variables. ISBN 978-1285740621.Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3ª ed.). New York: McGraw-Hill. Capítulo 9 – Functions of Several Variables. ISBN 978-0070542358.Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (2ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. Capítulo 12 – Functions of Several Variables. ISBN 978-0201002881.

Algumas funções são definidas para todos os valores reais das variáveis (diz-se que são definidas em toda parte), mas algumas outras funções são definidas apenas se o valor da variável for tomado num subconjunto de , o domínio da função, que é sempre suposto conter um subconjunto aberto de . Em outras palavras, uma função de valor real de variáveis reais é uma função

tal que seu domínio é um subconjunto de que contém um conjunto aberto não vazio.

Sendo um elemento de uma -tupla (geralmente delimitada por parênteses), a notação geral para denotar funções seria . O uso comum, muito mais antigo do que a definição geral de funções entre conjuntos, é não usar parênteses duplos e simplesmente escrever .

Também é comum abreviar a -tupla usando uma notação semelhante à de vetores, como negrito , sublinhado , ou seta sobreposta . Este artigo usará o negrito.

Um exemplo simples de uma função de duas variáveis poderia ser:

que é o volume de um cone com área da base e altura medida perpendicularmente a partir da base. O domínio restringe todas as variáveis a serem positivas, pois comprimentos e áreas devem ser positivos.

Para um exemplo de uma função de duas variáveis:

onde e são constantes reais não nulas. Usando o sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, onde o plano xy é o domínio e o eixo z é o contradomínio , pode-se visualizar a imagem como um plano bidimensional, com uma declividade de na direção x positiva e uma declividade de na direção y positiva. A função é bem definida em todos os pontos em . O exemplo anterior pode ser facilmente estendido para dimensões superiores:

para constantes reais não nulas , o que descreve um hiperplano de dimensões.

A norma euclidiana:

também é uma função de n variáveis que é definida em toda parte, enquanto

é definida apenas para .

Para um exemplo de função não linear de duas variáveis:

que toma todos os pontos em , um disco de raio "perfurado" na origem no plano , e retorna um ponto em . A função não inclui a origem ; se incluísse, então estaria mal definida naquele ponto. Usando um sistema de coordenadas cartesianas 3D com o plano xy como o domínio , e o eixo z como o contradomínio , a imagem pode ser visualizada como uma superfície curva.

A função pode ser avaliada no ponto em :

No entanto, a função não poderia ser avaliada em, digamos:

uma vez que esses valores de e não satisfazem a regra do domínio.

Imagem

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de quando a -tupla percorre todo o domínio de . Para uma função de valor real contínua (veja abaixo a definição) que possui um domínio conexo, a imagem é um intervalo ou um valor único. Neste último caso, a função é uma função constante.Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3ª ed.). New York: McGraw-Hill. Cap. 4 – Continuous Functions. ISBN 978-0070542358.Stewart, James (2015). Calculus: Early Transcendentals (8ª ed.). Boston: Cengage Learning. Seção 2.5 – The Intermediate Value Theorem. ISBN 978-1285740621.Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (2ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. Cap. 4 – Continuous Functions on Metric Spaces. ISBN 978-0201002881.Weisstein, Eric W. "Intermediate Value Theorem". Em: MathWorld—A Wolfram Web Resource. Disponível em: https://mathworld.wolfram.com/IntermediateValueTheorem.html. Acesso em 7 de março de 2026.

A pré-imagem de um dado número real é chamada de conjunto de nível. É o conjunto das soluções da equação .

Domínio

O domínio de uma função de várias variáveis reais é um subconjunto de que, por vezes, mas nem sempre, é explicitamente definido. De fato, se restringirmos o domínio de uma função a um subconjunto , obtemos formalmente uma função diferente, a restrição de a , que é denotada por . Na prática, frequentemente (mas nem sempre) não é prejudicial identificar e , e omitir o restritor .

Por outro lado, às vezes é possível ampliar naturalmente o domínio de uma dada função, por exemplo, por continuidade ou por prolongamento analítico.

Além disso, muitas funções são definidas de tal forma que é difícil especificar explicitamente o seu domínio. Por exemplo, dada uma função , pode ser difícil especificar o domínio da função Se for um polinômio multivariado (que tem como domínio), é ainda mais difícil testar se o domínio de também é . Isso é equivalente a testar se um polinômio é sempre positivo, e é objeto de uma área ativa de pesquisa (ver Polinômio positivo).

Estrutura algébrica

As operações usuais de aritmética nos reais podem ser estendidas para funções de valor real de várias variáveis reais da seguinte maneira: Para todo número real , a função constante é definida em toda parte. Para todo número real e toda função , a função: tem o mesmo domínio que (ou é definida em toda parte se ). Se e são duas funções de domínios respectivos e tais que contém um subconjunto aberto não vazio de , então e são funções que têm um domínio que contém .

Segue-se que as funções de variáveis que são definidas em toda parte e as funções de variáveis que são definidas em alguma vizinhança de um dado ponto formam ambas álgebras comutativas sobre os reais (-álgebras). Este é um exemplo prototípico de um espaço de funções.

Pode-se definir de forma semelhante:

que é uma função apenas se o conjunto dos pontos no domínio de tais que contiver um subconjunto aberto de . Esta restrição implica que as duas álgebras acima não são corpos.

Funções univariáveis associadas a uma função multivariável

Uma função de uma variável real pode ser facilmente obtida dando um valor constante a todas as variáveis, exceto uma. Por exemplo, se for um ponto do interior do domínio da função , os valores de podem ser fixados em respectivamente, para obter uma função univariável:

cujo domínio contém um intervalo centrado em . Esta função também pode ser vista como a restrição da função à linha definida pelas equações para .

Outras funções univariáveis podem ser definidas restringindo a qualquer linha que passe por . Estas são as funções:

onde os são números reais que não são todos zero.

Na próxima seção, mostraremos que, se a função multivariável for contínua, também o serão todas essas funções univariáveis, mas o inverso não é necessariamente verdadeiro.

Continuidade e limite Até a segunda metade do século XIX, apenas funções contínuas eram consideradas pelos matemáticos. Nessa época, a noção de continuidade foi elaborada para as funções de uma ou várias variáveis reais muito antes da definição formal de um espaço topológico e de uma aplicação contínua entre espaços topológicos. Como as funções contínuas de várias variáveis reais são ubíquas na matemática, vale a pena definir essa noção sem referência à noção geral de aplicações contínuas entre espaços topológicos.Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). A History of Mathematics (3ª ed.). Hoboken: Wiley. Capítulo 28 – The Arithmetization of Analysis. ISBN 978-0470525487.Kline, Morris (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Vol. 2). New York: Oxford University Press. Capítulo 41 – The Arithmetization of Analysis. ISBN 978-0195061369.Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3ª ed.). New York: McGraw-Hill. Capítulo 4 – Continuous Functions. ISBN 978-0070542358.Dieudonné, Jean (1981). A History of Functional Analysis. Amsterdam: North-Holland. ISBN 978-0444860200.

Para definir a continuidade, é útil considerar a função distância de , que é uma função definida em toda parte de variáveis reais:

Uma função é contínua em um ponto que é interior ao seu domínio, se, para todo número real positivo , houver um número real positivo tal que para todo tal que . Em outras palavras, pode ser escolhido pequeno o suficiente para ter a imagem por da bola de raio centrada em contida no intervalo de comprimento centrado em . Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio.

Se uma função for contínua em , então todas as funções univariadas que são obtidas fixando todas as variáveis exceto uma no valor , são contínuas em . O inverso é falso; isso significa que todas essas funções univariadas podem ser contínuas para uma função que não é contínua em . Como exemplo, considere a função tal que , e de outra forma definida por

As funções e são ambas constantes e iguais a zero, e são, portanto, contínuas. A função não é contínua em , porque, se e , temos , mesmo que seja muito pequeno. Embora não contínua, esta função tem a propriedade adicional de que todas as funções univariadas obtidas ao restringi-la a uma linha que passa por também são contínuas. De fato, temos

para .

O limite em um ponto de uma função de valor real de várias variáveis reais é definido da seguinte forma. Seja um ponto no fecho topológico do domínio da função . A função tem um limite quando tende para , denotado

se a seguinte condição for satisfeita: Para todo número real positivo , existe um número real positivo tal que

para todo no domínio tal que

Se o limite existe, ele é único. Se estiver no interior do domínio, o limite existirá se e somente se a função for contínua em . Neste caso, temos

Quando está na fronteira do domínio de , e se tem um limite em , a última fórmula permite "estender por continuidade" o domínio de a .

Simetria Uma função simétrica é uma função que permanece inalterada quando duas variáveis e são permutadas:

onde e são, cada um, valores de . Por exemplo: