Na teoria aditiva dos números, uma base aditiva é um conjunto de números naturais com a propriedade de que, para algum número finito , todo número natural pode ser expresso como uma soma de ou menos elementos de . Ou seja, o conjunto soma de cópias de consiste em todos os números naturais. A ordem ou grau de uma base aditiva é o número . Quando o contexto da teoria aditiva dos números é claro, uma base aditiva pode ser chamada simplesmente de base. Uma base aditiva assintótica é um conjunto para o qual todos, exceto um número finito de números naturais, podem ser expressos como uma soma de ou menos elementos de .Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Springer.Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Springer.Halberstam, H.; Roth, K. F. (1966). Sequences. Oxford University Press.
Por exemplo, pelo teorema dos quatro quadrados de Lagrange, o conjunto dos números quadrados é uma base aditiva de ordem quatro e, de forma mais geral, pelo teorema dos números poligonais de Fermat, os números poligonais para polígonos de lados formam uma base aditiva de ordem . De maneira semelhante, as soluções para o problema de Waring implicam que as -ésimas potências são uma base aditiva, embora sua ordem seja maior que . Pelo teorema de Vinogradov, os números primos são uma base aditiva assintótica de ordem no máximo quatro, e a conjectura de Goldbach implicaria que sua ordem é três.Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers. 6th ed. Oxford University Press, cap. 20.Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Springer.
A não provada conjectura de Erdős-Turán sobre bases aditivas afirma que, para qualquer base aditiva de ordem , o número de representações do número como uma soma de elementos da base tende ao infinito no limite em que tende ao infinito. (Mais precisamente, o número de representações não possui um supremo finito). O teorema de Erdős-Fuchs, que está relacionado, afirma que o número de representações não pode ser próximo de uma função linear. O teorema de Erdős-Tetali afirma que, para todo , existe uma base aditiva de ordem cujo número de representações de cada é .
Um teorema de Lev Schnirelmann afirma que qualquer sequência com densidade de Schnirelmann positiva é uma base aditiva. Isso decorre de um teorema mais forte de Henry Mann, segundo o qual a densidade de Schnirelmann de uma soma de duas sequências é pelo menos a soma de suas densidades de Schnirelmann, a menos que a soma delas consista em todos os números naturais. Assim, qualquer sequência de densidade de Schnirelmann é uma base aditiva de ordem de no máximo .
Referências
Categoria:Teoria aditiva dos números