thumb|Campo vetorial correspondente a uma forma diferencial no plano perfurado que é fechada, mas não exata, mostrando que a coomologia de de Rham deste espaço é não trivial. Na matemática, a coomologia de de Rham (nomeada em homenagem a Georges de Rham) é uma ferramenta que pertence tanto à topologia algébrica quanto à topologia diferencial, capaz de expressar informações topológicas básicas sobre variedades suaves em uma forma particularmente adaptada à computação e à representação concreta de classes de coomologia. É uma teoria de coomologia baseada na existência de formas diferenciais com propriedades prescritas.

Em qualquer variedade suave, toda forma exata é fechada, mas o inverso pode não ser verdadeiro. Em termos gerais, essa falha está relacionada à possível existência de "buracos" na variedade, e os grupos de coomologia de de Rham compreendem um conjunto de invariantes topológicos de variedades suaves que quantificam precisamente essa relação.

Definição O complexo de de Rham é o complexo de cocadeias de formas diferenciais em alguma variedade suave , com a derivada exterior como o diferencial:

onde é o espaço de funções suaves em , é o espaço de -formas, e assim por diante. Formas que são a imagem de outras formas sob a derivada exterior, mais a função constante em , são chamadas de exatas e formas cuja derivada exterior é são chamadas de fechadas (veja Formas diferenciais fechadas e exatas); a relação então diz que formas exatas são fechadas.

Em contrapartida, formas fechadas não são necessariamente exatas. Um caso ilustrativo é um círculo como uma variedade, e a -forma correspondente à derivada do ângulo a partir de um ponto de referência no seu centro, tipicamente escrita como (descrita em Formas diferenciais fechadas e exatas). Não existe nenhuma função definida em todo o círculo tal que seja sua derivada; o aumento de ao dar uma volta completa no círculo na direção positiva implica uma função multivalorada . Remover um ponto do círculo contorna isso, ao mesmo tempo que altera a topologia da variedade.

Um exemplo proeminente de quando todas as formas fechadas são exatas é quando o espaço subjacente é contrátil a um ponto ou, mais genericamente, se for simplesmente conexo (condição de ausência de buracos). Neste caso, a derivada exterior restrita às formas fechadas tem um inverso local chamado de operador de homotopia. Uma vez que ele também é nilpotente, ele forma um complexo de cadeias dual com as setas invertidas em comparação com o complexo de de Rham. Esta é a situação descrita no Lema de Poincaré.

A ideia por trás da coomologia de de Rham é definir classes de equivalência de formas fechadas em uma variedade. Duas formas fechadas são classificadas como coomólogas se diferirem por uma forma exata, isto é, se for exata. Esta classificação induz uma relação de equivalência no espaço das formas fechadas em . Define-se então o -ésimo grupo de coomologia de de Rham como o conjunto de classes de equivalência, isto é, o conjunto de formas fechadas em módulo as formas exatas.

Note que, para qualquer variedade composta por componentes desconexas, cada uma das quais é conexa, temos que

Isso decorre do fato de que qualquer função suave em com derivada zero em toda a parte é separadamente constante em cada uma das componentes conexas de .

Coomologia de de Rham computada Muitas vezes é possível encontrar as coomologias gerais de de Rham de uma variedade usando o fato acima sobre a coomologia zero e uma sequência de Mayer–Vietoris. Outro fato útil é que a coomologia de de Rham é um invariante de homotopia. Embora o cálculo detalhado não seja apresentado, a seguir estão as coomologias de de Rham computadas para alguns objetos topológicos comuns:

A -esfera Para a -esfera, , e também quando tomada em conjunto com um produto de intervalos abertos, temos o seguinte. Seja , e um intervalo real aberto. Então

O -toro O -toro é o produto cartesiano: . Da mesma forma, permitindo aqui, obtemos

Podemos também encontrar geradores explícitos para a coomologia de de Rham do toro diretamente usando formas diferenciais. Dada uma variedade quociente e uma forma diferencial , podemos dizer que é -invariante se, dado qualquer difeomorfismo induzido por , , tivermos . Em particular, o pullback (recuo) de qualquer forma em é -invariante. Além disso, o pullback é um morfismo injetivo. Em nosso caso de , as formas diferenciais são -invariantes, uma vez que . Contudo, note que para não é uma -forma invariante. Isso, juntamente com a injetividade, implica que

Como o anel de coomologia de um toro é gerado por , tomar os produtos exteriores destas formas fornece todos os representantes explícitos para a coomologia de de Rham de um toro.

Espaço euclidiano perfurado O espaço euclidiano perfurado é simplesmente com a origem removida.

A faixa de Möbius

Podemos deduzir do fato de que a faixa de Möbius, , pode sofrer uma retração por deformação para a -esfera (ou seja, o círculo unitário real), que:

Teorema de de Rham

O teorema de Stokes é uma expressão de dualidade entre a coomologia de de Rham e a homologia de cadeias. Ele afirma que o emparelhamento de formas diferenciais e cadeias, via integração, fornece um homomorfismo da coomologia de de Rham para os grupos de coomologia singular O teorema de de Rham, provado por Georges de Rham em 1931, estabelece que para uma variedade suave , este mapa é, de fato, um isomorfismo.

Mais precisamente, considere o mapa

definido da seguinte forma: para qualquer , seja o elemento de que atua como se segue:

O teorema de de Rham assevera que este é um isomorfismo entre a coomologia de de Rham e a coomologia singular.

O produto exterior dota a soma direta desses grupos com uma estrutura de anel. Um resultado adicional do teorema é que os dois anéis de coomologia são isomorfos (como anéis graduados), onde o produto análogo na coomologia singular é o produto cup (ou produto taça).

Isomorfismo de de Rham na teoria de feixes

Para qualquer variedade suave M, seja o feixe constante em M associado ao grupo abeliano ; em outras palavras, é o feixe de funções localmente constantes de valor real em M. Então, temos um isomorfismo natural

entre a coomologia de de Rham e a coomologia de feixes de . (Note que isso mostra que a coomologia de de Rham também pode ser calculada em termos da coomologia de Čech; de fato, como toda variedade suave é um espaço de Hausdorff paracompacto, temos que a coomologia de feixes é isomorfa à coomologia de Čech para qualquer boa cobertura de M.)

Prova A demonstração padrão prossegue mostrando que o complexo de de Rham, quando visto como um complexo de feixes, é uma resolução acíclica de . Em mais detalhes, seja m a dimensão de M e seja o feixe de germes de -formas em M (sendo o feixe de funções em M). Pelo Lema de Poincaré, a seguinte sequência de feixes é exata (na categoria abeliana de feixes):

Essa sequência exata longa agora se divide em sequências exatas curtas de feixes

onde, pela exatidão, temos isomorfismos para todo k. Cada uma delas induz uma sequência exata longa na coomologia. Como o feixe de funções em M admite partições da unidade, qualquer -módulo é um feixe fino; em particular, os feixes são todos finos. Portanto, os grupos de coomologia de feixes se anulam para , uma vez que todos os feixes finos em espaços paracompactos são acíclicos. Assim, as próprias sequências longas e exatas de coomologia se separam, em última análise, em uma cadeia de isomorfismos. Em uma extremidade da cadeia está a coomologia de feixes de e, na outra, encontra-se a coomologia de de Rham.

Ideias relacionadas A coomologia de de Rham inspirou muitas ideias matemáticas, incluindo a Coomologia de Dolbeault, a teoria de Hodge e o Teorema do índice de Atiyah-Singer. No entanto, mesmo em contextos mais clássicos, o teorema tem inspirado uma série de desenvolvimentos. Primeiramente, a teoria de Hodge prova que existe um isomorfismo entre a coomologia consistente de formas harmônicas e a coomologia de de Rham consistente de formas fechadas módulo as formas exatas. Isso se baseia em uma definição apropriada de formas harmônicas e do teorema de Hodge. Para mais detalhes, veja Teoria de Hodge.

Formas harmônicas

Se é uma variedade riemanniana compacta, então cada classe de equivalência em contém exatamente uma forma harmônica. Ou seja, cada membro de uma dada classe de equivalência de formas fechadas pode ser escrito como

onde é exata e é harmônica: .

Qualquer função harmônica em uma variedade riemanniana conexa e compacta é uma constante. Assim, esse elemento representante particular pode ser entendido como um extremo (um mínimo) de todas as formas coomologicamente equivalentes na variedade. Por exemplo, em um -toro, pode-se visualizar uma -forma constante como uma em que todos os "fios de cabelo" são penteados ordenadamente na mesma direção (e todos os "fios" têm o mesmo comprimento). Nesse caso, existem dois penteados coomologicamente distintos; todos os outros são combinações lineares. Em particular, isso implica que o 1º número de Betti de um -toro é dois. De forma mais geral, em um toro -dimensional , pode-se considerar os vários penteados de -formas no toro. Existem escolhe tais penteados que podem ser usados para formar os vetores de base para ; o -ésimo número de Betti para o grupo de coomologia de de Rham para o -toro é, assim, escolhe .

Mais precisamente, para uma variedade diferencial , pode-se dotá-la de alguma métrica riemanniana auxiliar. Então o Laplaciano é definido por

com a derivada exterior e a codiferencial. O Laplaciano é um operador diferencial linear homogêneo (em graduação) que atua sobre a álgebra exterior de formas diferenciais: podemos observar a sua ação em cada componente de grau separadamente.

Se é compacta e orientada, a dimensão do núcleo do Laplaciano atuando sobre o espaço de -formas é então igual (pela teoria de Hodge) à do grupo de coomologia de de Rham em grau : o Laplaciano seleciona uma forma harmônica única em cada classe de coomologia de formas fechadas. Em particular, o espaço de todas as -formas harmônicas em é isomorfo a A dimensão de cada um desses espaços é finita, e é dada pelo -ésimo número de Betti.

Decomposição de Hodge

Seja uma variedade riemanniana orientada e compacta. A decomposição de Hodge afirma que qualquer -forma em se divide unicamente na soma de três componentes de :

onde é exata, é coexata, e é harmônica.

Diz-se que uma forma é cofechada se e coexata se para alguma forma , e que é harmônica se o Laplaciano for zero, . Isso se deduz notando que formas exatas e coexatas são ortogonais; o complemento ortogonal consiste então de formas que são simultaneamente fechadas e cofechadas: isto é, de formas harmônicas. Aqui, a ortogonalidade é definida com respeito ao produto interno em :

Ao usar os espaços de Sobolev ou distribuições, a decomposição pode ser estendida, por exemplo, a uma variedade riemanniana completa (orientada ou não).Jean-Pierre Demailly, Complex Analytic and Differential Geometry Ch VIII, § 3.

Ver também Teoria de Hodge Teoria de feixes

Ligações externas Idea of the De Rham Cohomology no Projeto Mathifold

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