O teorema de Euclides-Euler é um teorema na teoria dos números que relaciona números perfeitos com primos de Mersenne: um número par é perfeito se e somente se apresenta a forma , em que é um número primo. O teorema foi nomeado em homenagem à Euclides e Leonhard Euler, que provaram, respectivamente, o "se" e o "somente se".

Foi conjecturado que há infinitos primos de Mersenne. Apesar de que a validade dessa conjectura nunca tenha sido provada, é equivalente, pelo teorema de Euclides-Euler, a conjectura que alega a existência de infinitos números perfeitos pares. Contudo, também é desconhecido a existência de um único número perfeito ímpar.

Conceitos e exemplos miniaturadaimagem|A soma dos divisores próprios de seis é seis, o que o caracteriza como um número perfeito Um número perfeito é um número natural que é igual a soma de seus divisores próprios. Por exemplo, o número 6 é igual a soma de seus divisores 1, 2 e 3; logo, é perfeito.

Já um número primo de Mersenne é um número primo uma unidade menor que uma potência de dois, isto é, . Para ser primo, precisa também ser primo. Porém, nem todo primo origina um primo de Mersenne. Por exemplo, , que é primo de Mersenne, mas não é, pois .

O teorema Euclides-Euler estabelece que um numero natural par é perfeito se, e somente se, apresentar a forma , com como um primo de Mersenne. Assim, o número perfeito 6 vem de , assim , isto é, .

História Euclides provou que é um número perfeito sempre que é primo na seção de teoria dos números de Os Elementos. Euclides expressa os resultados ao analisar a tese de que uma série geométrica finita começando em 1 e com razão 2 tem a soma , sendo um número primo, então esta soma multiplicada pelo último termo da série é um perfeito.

Expressada nesses termos, a soma de uma série finita é o primo de Mersenne , e o último termo é a potência de dois . Euclides, então, prova que é perfeito ao observar que a série geométrica de razão 2, com como o primeiro termo e o mesmo número de termos da outra série, é proporcional a série original. Logo, como a soma da série original é , a segunda série apresenta a soma . As duas séries somadas dão , duas vezes os suposto número perfeito. Contudo, essas duas séries são disjuntas uma da outra e, por ser um número primo pela hipótese, compreendem todos os divisores de . Como tem divisores que somam , a soma dos divisores próprios é exatamente , mostrando que ele é perfeito.

Um milênio após Euclides, Alhazém conjecturou que todo número perfeito seria da forma , com sendo primo, mas não conseguiu provar tal resultado. Foi somente no séxulo XVIII, mais de dois milênios após Euclides, que Leonhard Euler provou que a fórmula apresentaria todos os números perfeitos. Além disso, estabeleceu-se uma relação entre os números perfeitos e os primos de Mersenne. Cada primo de Mersenne gera um número perfeito para, e vice-versa. Após a prova de Euclides do teorema Euclides-Euler, outros matemáticos publicaram diferentes provas, incluindo Victor-Amédée Lebesgue, Robert Daniel Carmichael, Wayne L. McDaniel, John Knopfmacher e Leonard Eugene Dickson. Este último, em particular, é comumente utilizado em livros didáticos.

O teorema foi incluído em uma lista na internet de "melhores 100 teoremas matemáticos", de 1999, que posteriormente foi utilizado como um teste benchmark de Freek Wiedjik.

Prova A prova de Euclides é curta e depende do fato de que a função da soma dos divisores, denominada por , seja multiplicativa, isto é, se e são primos entre si, então . Para essa fórmula ser válida, a soma dos divisores de um número deve incluir ele mesmo, não apenas os divisores próprios. Então, o número é perfeito se, e somente se, a soma dos divisores for o dobro de seu valor.

Todo primo de Mersenne gera um número perfeito par Quando é primo, . Os divisores de são . A soma dos divisores é uma série geométrica cujo valor é . Como é primo, os únicos divisores dele são e ele mesmo, logo, a soma de seus divisores é . Assim,

.

Portanto, é perfeito.

Todo número perfeito par é gerado por um primo de Mersenne Na outra direção, suponha um número perfeito par parcialmente fatorado como , sendo um número ímpar. Para ser perfeito, a soma dos divisores deve ser o dobro de seu valor:

.

O fator ímpar do lado direito da sentença acima deve ser igual ou maior que 3 e deve também dividir , que é o único fator ímpar do lado esquerdo. Logo, é um divisor próprio de . Dividindo os dois lados da sentença pelo fator comum e levando em conta os divisores conhecidos de como o próprio e , temos:

outros divisores outros divisores.

Para a igualdade ser verdadeira, não pode haver outros divisores. Assim, deve ser 1. e deve ser um número primo da forma .

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